高中数学

每日一题 2026-03-24

已知平面上三个单位向量 a,b,c\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} 满足 a+b+c=0\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} = \mathbf{0}，求 ∣−2a+tb+(1−t)c∣|-2\mathbf{a} + t\mathbf{b} + (1-t)\mathbf{c}| 在 0≤t≤10 \le t \le 1 时的取值范围。

参考答案

【分析】

由 a,b,c\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} 均为单位向量且 a+b+c=0\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} = \mathbf{0}，知三向量两两夹角均为 120∘120^\circ，在空间中构成等边三角形。

坐标法： 取

a=(1,0),b=(−12,32),c=(−12,−32)\mathbf{a} = (1, 0),\quad \mathbf{b} = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right),\quad \mathbf{c} = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

令 v=−2a+tb+(1−t)c\mathbf{v} = -2\mathbf{a} + t\mathbf{b} + (1-t)\mathbf{c}，代入坐标得

v=(−52, 3(t−12))\mathbf{v} = \left(-\frac{5}{2},\ \sqrt{3}\left(t - \frac{1}{2}\right)\right)

故

∣v∣2=(−52)2+[3(t−12)]2=3t2−3t+7|\mathbf{v}|^2 = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + \left[\sqrt{3}\left(t - \frac{1}{2}\right)\right]^2 = 3t^2 - 3t + 7

【详解】

由上述分析得

∣v∣2=3t2−3t+7,t∈[0,1]|\mathbf{v}|^2 = 3t^2 - 3t + 7,\quad t \in [0, 1]

这是关于 tt 的二次函数，图象开口向上。

最小值： 对称轴处 t=12∈[0,1]t = \dfrac{1}{2} \in [0,1]

∣v∣min⁡2=3(12)2−3(12)+7=254|\mathbf{v}|_{\min}^2 = 3\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - 3\left(\dfrac{1}{2}\right) + 7 = \dfrac{25}{4}

∣v∣min⁡=52|\mathbf{v}|_{\min} = \dfrac{5}{2}

最大值： 在端点处 t=0t = 0 或 t=1t = 1

t=0:∣v∣2=7⇒∣v∣=7t = 0:\quad |\mathbf{v}|^2 = 7 \Rightarrow |\mathbf{v}| = \sqrt{7}

t=1:∣v∣2=3−3+7=7⇒∣v∣=7t = 1:\quad |\mathbf{v}|^2 = 3 - 3 + 7 = 7 \Rightarrow |\mathbf{v}| = \sqrt{7}

故取值范围为

52≤∣v∣≤7\boxed{\dfrac{5}{2} \le |\mathbf{v}| \le \sqrt{7}}

【点评】

本题改编自 2020 年浙江高考数学模拟压轴题，考查平面向量与二次函数最值综合问题。

关键点：

  1. 由 a+b+c=0\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} = \mathbf{0} 识别出三向量两两夹角为 120∘120^\circ 的几何条件
  2. 通过坐标法将向量模长问题转化为二次函数在闭区间上的最值
  3. 注意二次函数的对称轴是否在区间 [0,1][0,1] 内。本题对称轴 t=12t = \dfrac{1}{2} 恰好在区间内，故最小值在顶点处取得，最大值在端点处取得