高中向量

每日一题：2026-03-25

题目

已知点 PP 在 Rt△ABC\text{Rt}\triangle ABC 所在平面内，∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ, ∠CAP\angle CAP 为锐角，且 ∣AP→∣=2|\overrightarrow{AP}| = 2, AP→⋅AC→=2\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC} = 2，AP→⋅AB→=1\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AB} = 1，当 ∣AB→+AC→+AP→∣|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AP}| 取得最小值时，tan⁡∠CAP=()\tan \angle CAP = (\quad)

选项：

A. 24\frac{\sqrt{2}}{4}
B. 23\frac{\sqrt{2}}{3}
C. 22\frac{\sqrt{2}}{2}
D. 2\sqrt{2}

参考答案

【答案】 C

【分析】
设 ∠CAP=α\angle CAP = \alpha，利用数量积的定义可得 ∣AC→∣=1cos⁡α|\overrightarrow{AC}| = \frac{1}{\cos \alpha}, ∣AB→∣=12sin⁡α|\overrightarrow{AB}| = \frac{1}{2\sin \alpha}，进而可得 ∣AB→+AC→+AP→∣2=cos⁡2α4sin⁡2α+sin⁡2αcos⁡2α+454|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AP}|^2 = \frac{\cos^2 \alpha}{4\sin^2 \alpha} + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{45}{4}，利用基本不等式即得。

【详解】
设 ∠CAP=α\angle CAP = \alpha，则 ∠BAP=90∘−α\angle BAP = 90^\circ - \alpha，

由 ∣AP→∣=2|\overrightarrow{AP}| = 2, AP→⋅AC→=2\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC} = 2，AP→⋅AB→=1\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AB} = 1，

∴∣AP→∣∣AC→∣cos⁡α=2\therefore |\overrightarrow{AP}| |\overrightarrow{AC}| \cos \alpha = 2, ∣AP→∣∣AB→∣sin⁡α=1|\overrightarrow{AP}| |\overrightarrow{AB}| \sin \alpha = 1，

即 ∣AC→∣=1cos⁡α|\overrightarrow{AC}| = \frac{1}{\cos \alpha}, ∣AB→∣=12sin⁡α|\overrightarrow{AB}| = \frac{1}{2\sin \alpha}

因为

∣AB→+AC→+AP→∣2=∣AB→∣2+∣AC→∣2+∣AP→∣2+2AB→⋅AC→+2AB→⋅AP→+2AC→⋅AP→=14sin⁡2α+1cos⁡2α+4+0+2+4=cos⁡2α4sin⁡2α+sin⁡2αcos⁡2α+454≥2cos⁡2α4sin⁡2α⋅sin⁡2αcos⁡2α+454=494\begin{aligned} |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AP}|^2 &= |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AP}|^2 + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP} + 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AP} \\ &= \frac{1}{4\sin^2 \alpha} + \frac{1}{\cos^2 \alpha} + 4 + 0 + 2 + 4 \\ &= \frac{\cos^2 \alpha}{4\sin^2 \alpha} + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{45}{4} \\ &\ge 2\sqrt{\frac{\cos^2 \alpha}{4\sin^2 \alpha} \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} + \frac{45}{4} = \frac{49}{4} \end{aligned}

当且仅当 cos⁡2α4sin⁡2α=sin⁡2αcos⁡2α\frac{\cos^2 \alpha}{4\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}，即 tan⁡α=22\tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} 时，∣AB→+AC→+AP→∣|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AP}| 取得最小值 72\frac{7}{2}，

∴\therefore 当 ∣AB→+AC→+AP→∣|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AP}| 取得最小值时，tan⁡∠CAP=22\tan \angle CAP = \frac{\sqrt{2}}{2}。

故选：C.