每日一题：2026-03-26

题目

已知 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 是共面单位向量，$\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle = 60°$，求 $|2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{c}| + |\boldsymbol{b} - 2\boldsymbol{c}|$ 的最小值。

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参考答案

【答案】 $2\sqrt{3}$

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【详解】

Step 1：巧妙转化

由于 $\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 均为单位向量，有 $|\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{c}| = 1$

因此：

$|\boldsymbol{b} - 2\boldsymbol{c}| = |\boldsymbol{c} - 2\boldsymbol{b}|$

（证明：两边平方均为 $5 - 4\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}$）

Step 2：应用三角不等式

$\begin{aligned} S &= |2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{c}| + |\boldsymbol{b} - 2\boldsymbol{c}| \\ &= |2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{c}| + |\boldsymbol{c} - 2\boldsymbol{b}| \\ &\geq |(2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{c}) - (\boldsymbol{c} - 2\boldsymbol{b})| \\ &= |2\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}| \\ &= 2|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| \end{aligned}$

Step 3：计算 $|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|$

$\begin{aligned} |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 &= |\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} \\ &= 1 + 1 + 2\cos 60° \\ &= 2 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 \end{aligned}$

$\therefore |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = \sqrt{3}$

Step 4：验证取等条件

三角不等式取等号的条件是两向量同向，即：

$(2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{c}) \parallel -(\boldsymbol{c} - 2\boldsymbol{b})$

解得 $\boldsymbol{c}$ 的方向满足 $\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}\rangle = 120°$，$\langle\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\rangle = 60°$

此时：

$|2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{c}| = \sqrt{3},\quad |\boldsymbol{b} - 2\boldsymbol{c}| = \sqrt{3}$

综上，最小值为 $2\sqrt{3}$。

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【点评】

核心技巧：

1. 利用单位向量性质：$|\boldsymbol{b} - 2\boldsymbol{c}| = |\boldsymbol{c} - 2\boldsymbol{b}|$
2. 三角不等式：$|\boldsymbol{u}| + |\boldsymbol{v}| \geq |\boldsymbol{u} - \boldsymbol{v}|$
3. 消去动向量 $\boldsymbol{c}$，转化为定向量 $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 的模长

关键洞察：

• 观察到系数对称性（2 和 1 互换）
• 通过转化构造可消去 $\boldsymbol{c}$ 的形式
• 避免复杂的求导运算