每日一题 2026-03-27

已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $(\vec{a}-\vec{c})\cdot(\vec{b}-\vec{c}) = |\vec{a}-\vec{b}| = 2$，且 $|\vec{a}| = 2|\vec{b}|$，则 $|\vec{c}|$ 的最大值是_____

参考解答

析

由 $(\vec{a}-\vec{c})\cdot(\vec{b}-\vec{c}) = 2$ 和 $|\vec{a}-\vec{b}| = 2$，结合 $|\vec{a}| = 2|\vec{b}|$，可利用阿波罗尼斯圆和向量恒等式求解。

解

如图，设 $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$，$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$，则：

$|\vec{a}-\vec{b}| = |\overrightarrow{BA}| = 2$

由 $|\vec{a}| = 2|\vec{b}|$，根据阿波罗尼斯圆的定义，点 $O$ 的轨迹是以 $MN$ 为直径的圆（阿氏圆），满足：

$|MA| = 2|MB|，\quad |NA| = 2|NB|$

设 $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$，则：

$\vec{a} - \vec{c} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CA}$

$\vec{b} - \vec{c} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CB}$

由向量恒等式：

$(\vec{u}+\vec{v})^2 - (\vec{u}-\vec{v})^2 = 4\vec{u}\cdot\vec{v}$

得：

$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = \frac{1}{4}\left[(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})^2 - (\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB})^2\right]$

其中 $D$ 为 $AB$ 中点，则 $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB} = 2\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BA}$

代入得：

$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = \frac{1}{4}\left[(2\overrightarrow{CD})^2 - \overrightarrow{BA}^2\right] = CD^2 - \frac{1}{4}|\overrightarrow{BA}|^2 = CD^2 - BD^2$

由题设 $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 2$，且 $BD = \frac{1}{2}AB = 1$：

$CD^2 - 1^2 = 2$

$CD^2 = 3$

$\therefore$ 点 $C$ 的轨迹是以 $D$ 为圆心，$\sqrt{3}$ 为半径的圆。

$\therefore$ 当 $O$ 在点 $M$ 处，且 $C$ 在 $BA$ 延长线上时，$|\vec{c}| = |\overrightarrow{OC}|$ 取得最大值：

$|\vec{c}|_{\max} = |OM| + |MD| + \sqrt{3} = 2 + 1 + \sqrt{3} = \boxed{3+\sqrt{3}}$

【点评】

本题结合阿波罗尼斯圆和向量恒等式，通过建立几何模型求解向量模长的最大值。关键在于识别出 $|\vec{a}| = 2|\vec{b}|$ 对应的几何轨迹，以及利用向量恒等式将条件转化为圆的方程。