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每日一题 2026-03-29

已知平面向量 a⃗,b⃗,c⃗\vec{a},\vec{b},\vec{c} 和实数 λ\lambda 满足

∣a⃗∣=∣b⃗∣=∣a⃗+b⃗∣=2,a⃗⋅c⃗+b⃗⋅c⃗=0|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{a}+\vec{b}|=2,\quad \vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}=0

(a⃗−λc⃗)⋅(b⃗+λc⃗)≥0(\vec{a}-\lambda\vec{c})\cdot(\vec{b}+\lambda\vec{c})\geq 0

则 ∣a⃗−λc⃗∣+∣b⃗+λc⃗∣|\vec{a}-\lambda\vec{c}|+|\vec{b}+\lambda\vec{c}| 的取值范围是 ‾\underline{\hspace{3cm}}。

参考解答

析

由 ∣a⃗+b⃗∣=2|\vec{a}+\vec{b}|=2 两边平方得：

∣a⃗+b⃗∣2=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2+2a⃗⋅b⃗=4|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}=4

代入 ∣a⃗∣=∣b⃗∣=2|\vec{a}|=|\vec{b}|=2：

4+4+2a⃗⋅b⃗=44+4+2\vec{a}\cdot\vec{b}=4

解得：

a⃗⋅b⃗=−2\vec{a}\cdot\vec{b}=-2

解

设 a⃗=(2,0)\vec{a}=(2,0)，由 ∣b⃗∣=2|\vec{b}|=2 且 a⃗⋅b⃗=−2\vec{a}\cdot\vec{b}=-2，得 b⃗=(−1,3)\vec{b}=(-1,\sqrt{3})。

此时：

a⃗+b⃗=(1,3)\vec{a}+\vec{b}=(1,\sqrt{3})

由 (a⃗+b⃗)⋅c⃗=0(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=0，可设 c⃗=k(−3,1)\vec{c}=k(-\sqrt{3},1)（其中 k∈R,k≠0k\in\mathbb{R}, k\neq 0）。

计算得：

  • a⃗⋅c⃗=−23k\vec{a}\cdot\vec{c}=-2\sqrt{3}k
  • b⃗⋅c⃗=23k\vec{b}\cdot\vec{c}=2\sqrt{3}k
  • ∣c⃗∣2=4k2|\vec{c}|^2=4k^2

展开 (a⃗−λc⃗)⋅(b⃗+λc⃗)≥0(\vec{a}-\lambda\vec{c})\cdot(\vec{b}+\lambda\vec{c})\geq 0：

a⃗⋅b⃗+λ(a⃗⋅c⃗−b⃗⋅c⃗)−λ2∣c⃗∣2≥0\vec{a}\cdot\vec{b}+\lambda(\vec{a}\cdot\vec{c}-\vec{b}\cdot\vec{c})-\lambda^2|\vec{c}|^2\geq 0

代入得：

−2+λ(−43k)−λ2(4k2)≥0-2+\lambda(-4\sqrt{3}k)-\lambda^2(4k^2)\geq 0

即：

4λ2k2+43λk+2≤04\lambda^2k^2+4\sqrt{3}\lambda k+2\leq 0

2(λk)2+23(λk)+1≤02(\lambda k)^2+2\sqrt{3}(\lambda k)+1\leq 0

令 u=λku=\lambda k，解得：

u∈[−3−12,−3+12]u\in\left[\frac{-\sqrt{3}-1}{2},\frac{-\sqrt{3}+1}{2}\right]

计算目标表达式：

∣a⃗−λc⃗∣2=4−2λa⃗⋅c⃗+λ2∣c⃗∣2=4+43u+4u2=4(u2+3u+1)|\vec{a}-\lambda\vec{c}|^2=4-2\lambda\vec{a}\cdot\vec{c}+\lambda^2|\vec{c}|^2=4+4\sqrt{3}u+4u^2=4(u^2+\sqrt{3}u+1)

∣b⃗+λc⃗∣2=4+2λb⃗⋅c⃗+λ2∣c⃗∣2=4+43u+4u2=4(u2+3u+1)|\vec{b}+\lambda\vec{c}|^2=4+2\lambda\vec{b}\cdot\vec{c}+\lambda^2|\vec{c}|^2=4+4\sqrt{3}u+4u^2=4(u^2+\sqrt{3}u+1)

因此：

∣a⃗−λc⃗∣=∣b⃗+λc⃗∣=2u2+3u+1|\vec{a}-\lambda\vec{c}|=|\vec{b}+\lambda\vec{c}|=2\sqrt{u^2+\sqrt{3}u+1}

所求表达式为：

S=4u2+3u+1=4(u+32)2+14S=4\sqrt{u^2+\sqrt{3}u+1}=4\sqrt{\left(u+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}

当 u∈[−3−12,−3+12]u\in\left[\frac{-\sqrt{3}-1}{2},\frac{-\sqrt{3}+1}{2}\right] 时：

  • 当 u=−32u=-\frac{\sqrt{3}}{2} 时，Smin⁡=414=2S_{\min}=4\sqrt{\frac{1}{4}}=2
  • 当 u=−3±12u=\frac{-\sqrt{3}\pm 1}{2} 时，Smax⁡=412=22S_{\max}=4\sqrt{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}

【点评】

本题的关键在于：

  1. 利用已知条件求出 a⃗⋅b⃗=−2\vec{a}\cdot\vec{b}=-2
  2. 合理建立坐标系简化计算
  3. 通过换元 u=λku=\lambda k 将不等式转化为关于 uu 的范围
  4. 最终将问题转化为求 S=4(u+32)2+14S=4\sqrt{(u+\frac{\sqrt{3}}{2})^2+\frac{1}{4}} 的取值范围

答案： [2,22]\boxed{[2,2\sqrt{2}]}