每日一题 2026-04-02

在直角三角形 $ABC$ 中，$AC = 2$，$BC = 1$，$D$ 为斜边 $AB$ 上一点。若 $\triangle ACD$ 与 $\triangle BCD$ 的内切圆面积相等，则 $BD = \underline{\hspace{2em}}$。

参考解答

解 设 $\alpha = \angle BCO_1$，$\beta = \angle ACO_2$，$M$、$N$ 分别在边 $BC$、$AC$ 上，则 $\alpha + \beta = 45^\circ$。

由 $\tan \angle CBA = 2$，得 $\tan \angle PBO_1 = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$。

由 $\tan \angle BAC = \dfrac{1}{2}$，得 $\tan \angle QAO_2 = \dfrac{1}{\sqrt{5}+2}$。

由内切圆面积相等，设两三角形内切圆半径均为 $r$，则：

$\triangle MO_1C \sim \triangle NCO_2 \Rightarrow MC \cdot CN = MO_1 \cdot NO_2 = 2r^2$

由切割线定理及三角恒等式化简可得：

$MB = \frac{\sqrt{5}+3}{2}r, \quad AN = (\sqrt{5}+3)r$

$AN = 2BM \Rightarrow CN = 2CM$

由是得：

$MC = r \Rightarrow \tan \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \tan 2\alpha = \frac{4}{3}$

由正弦定理：

$\frac{BD}{AD} = \frac{BC \cdot CD \sin 2\alpha}{AC \cdot CD \sin 2\beta} = \frac{1}{2} \tan 2\alpha = \frac{2}{3}$

故

$BD = \frac{2}{5}\sqrt{5}$

【点评】 本题关键在于利用内切圆面积相等转化为半径相等，结合相似三角形和三角函数求值。