每日一题 2026-04-03

在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，点 $D$ 是 $AC$ 中点，连接 $BD$，过点 $D$ 作 $DE \perp BD$ 交 $AB$ 于点 $E$。若 $BE = 3AE$，则 $\tan A$ 的值为 ______。

参考解答

析：本题的关键是利用垂直条件找出角度之间的互余关系，再结合正弦定理建立方程。

设 $\angle A = \alpha$，$\angle ADE = \beta$。由 $\angle ADE + \angle BDC = 90^\circ$ 且 $\angle CBD + \angle BDC = 90^\circ$，得 $\angle CBD = \angle ADE = \beta$。

解：设 $\angle A = \alpha$（锐角），$\angle ADE = \beta$（锐角）。

则 $\angle CBD = \beta$（互余关系）。

$\angle BED = \alpha + \beta$（三角形外角定理）。

不妨令 $AE = 1$，则 $BE = 3$，$AB = 4$。

在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中：

$BC = 4 \sin \alpha,\quad AC = 4 \cos \alpha$

由于 $D$ 为 $AC$ 中点，$AD = CD = 2 \cos \alpha$。

在 $\text{Rt}\triangle BCD$ 中：

$\tan \beta = \frac{CD}{BC} = \frac{2 \cos \alpha}{4 \sin \alpha} = \frac{1}{2 \tan \alpha}$

即

$\tan \beta \cdot \tan \alpha = \frac{1}{2} \cdots (1)$

在 $\triangle ADE$ 中，由正弦定理：

$\frac{AE}{\sin \beta} = \frac{AD}{\sin[180^\circ - (\alpha + \beta)]} = \frac{2 \cos \alpha}{\sin(\alpha + \beta)}$

代入 $AE = 1$ 得：

$\sin(\alpha + \beta) = 2 \sin \beta \cos \alpha$

而 $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$，代入得：

$\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = 2 \sin \beta \cos \alpha$

整理得：

$\sin \alpha \cos \beta = \cos \alpha \sin \beta$

即

$\tan \alpha = \tan \beta \cdots (2)$

将 (2) 代入 (1) 得：

$\tan^2 \alpha = \frac{1}{2}$

因为 $\alpha$ 为锐角，$\tan \alpha > 0$，故

$\tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$

答案：$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$

【点评】本题的核心在于：① 通过互余关系传递角度；② 利用正弦定理在 $\triangle ADE$ 中建立等式；③ 两式联立求解。关键技巧是设 $AE = 1$ 简化运算。