每日一题：2026-06-22

题目

对于没有重复数据的样本 $x_1,x_2,\cdots,x_m$，记这 $m$ 个数的第 $k$ 百分位数为 $P_k$（$1\leqslant k\leqslant 99,\;k\in\mathbb Z$）．若在区间 $(P_{60},P_{80})$ 中的样本数据有且只有 $13$ 个，则 $m$ 的所有可能值的和为 $\underline{\hspace{3em}}$．

参考解答

解析：

不妨设 $x_1<x_2<\cdots<x_m$，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．

由百分位数定义：对 $k\in\mathbb Z$，记 $i=\dfrac{k}{100}\cdot m$，

• 若 $i$ 不是整数，则 $P_k=x_{\lceil i\rceil}=x_{[i]+1}$；
• 若 $i$ 是整数，则 $P_k=\dfrac{x_i+x_{i+1}}{2}$．

本题中 $k=60,80$，故 $i_{60}=0.6m$，$i_{80}=0.8m$．分情况讨论：

情况一：$0.6m$ 与 $0.8m$ 均为整数

此时 $m$ 是 $5$ 的倍数，且

$P_{60}=\frac{x_{0.6m}+x_{0.6m+1}}{2},\qquad P_{80}=\frac{x_{0.8m}+x_{0.8m+1}}{2}.$

由于数据严格递增，区间 $(P_{60},P_{80})$ 内的数据为

$x_{0.6m+1},\,x_{0.6m+2},\,\cdots,\,x_{0.8m},$

个数为 $0.8m-0.6m=0.2m$．由 $0.2m=13$ 得 $m=65$．

经检验，$m=65$ 符合题意．

情况二：$0.6m$ 与 $0.8m$ 均不为整数

此时 $m$ 不是 $5$ 的倍数，且

$P_{60}=x_{[0.6m]+1},\qquad P_{80}=x_{[0.8m]+1}.$

区间 $(P_{60},P_{80})$ 内的数据为

$x_{[0.6m]+2},\,x_{[0.6m]+3},\,\cdots,\,x_{[0.8m]},$

个数为 $[0.8m]-[0.6m]-1$．由题意

$[0.8m]-[0.6m]-1=13\quad\Longrightarrow\quad[0.8m]-[0.6m]=14.$

由取整不等式 $t-1<[t]\leqslant t$ 得

$0.2m-1<[0.8m]-[0.6m]<0.2m+1,$

即

$0.2m-1<14<0.2m+1,$

解得 $65<m<75$，故 $m$ 的可能取值为

$66,\;67,\;68,\;69,\;70,\;71,\;72,\;73,\;74.$

其中 $m=70$ 时 $0.6m=42,\;0.8m=56$ 均为整数，属于情况一且不满足条件，排除．
其余逐个检验（计算区间内数据个数）：

$m$	$[0.6m]$	$[0.8m]$	区间内数据	个数	是否满足
66	39	52	$x_{41}\sim x_{52}$	12	❌
67	40	53	$x_{42}\sim x_{53}$	12	❌
68	40	54	$x_{42}\sim x_{54}$	13	✅
69	41	55	$x_{43}\sim x_{55}$	13	✅
71	42	56	$x_{44}\sim x_{56}$	13	✅
72	43	57	$x_{45}\sim x_{57}$	13	✅
73	43	58	$x_{45}\sim x_{58}$	14	❌
74	44	59	$x_{46}\sim x_{59}$	14	❌

故情况二中满足题意的 $m$ 值为 $68,\,69,\,71,\,72$．

综上，$m$ 的所有可能取值为 $65,\,68,\,69,\,71,\,72$，它们的和为

$65+68+69+71+72 = 345.$

答案：$\displaystyle 345$