题目
如图所示，当篮球放在桌面上并被斜上方一个灯泡 （当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点。假设篮球的半径为 ，灯泡与桌面的距离为 ，灯泡垂直照射在平面上的点为 ，椭圆的右顶点到 点的距离为 ，则此时椭圆的离心率 等于 __。
参考解答
解析：
以 为坐标原点，沿桌面向右为 轴正方向，竖直向上为 轴正方向建立平面直角坐标系。
由球的半径为 且与桌面相切，球心 在接触点 的正上方 处。设 ，则
由题意
第一步：由相切条件求
直线 的斜率为
故直线 的方程为
因为 是光线与球相切的一条直线，所以球心 到 的距离等于半径 ：
解得
因为 是椭圆的右焦点、 是右顶点，所以 在 的左侧，即 ，故舍去 ，得
于是
即
第二步：由另一条切线的斜率求
设直线 的方程为
同样由相切得球心 到 的距离为 ：
两边平方并整理：
即
解得
因为 ，而 与 是两条不同的切线（ 与 是椭圆的两个不同顶点），故
此时直线 为
令 ，得 ，即
于是
即
第三步：求离心率
由
解得
所以
补充说明：
一是原解析在计算 时写作 与 ，按直线方程 代入点 应为 ；据此得到两个根，其中 不满足 ，应舍去，原解析未写明这一舍根理由。
二是 与 相同，说明此时 与 是同一条切线， 与 重合、影子退化，故舍去；原解析只写"因 PN 的斜率小于 PR 的斜率"，可以补上这一几何解释。
三是所得 、 满足
影子确为椭圆；数值验证也给出影子椭圆的顶点恰为 与 、焦点为 ，与题设一致。
答案：