题目
若椭圆上存在点 满足 ，且 的平分线与椭圆 交于点 ，使得 ，则该椭圆的离心率 __。
参考解答
解析：
设椭圆方程为 ，记
因为 、 都在椭圆上，所以
第一步：在两个三角形中用余弦定理与勾股定理
在 △PF₁F₂ 中，由余弦定理
在 △QF₁F₂ 中，由 QF₁⊥QF₂ 及勾股定理
比较两式得
第二步：用角平分线与正弦定理联系角
设 平分 ∠F₁PF₂，记
设 ∠F₁QP=α，由 ∠F₁QF₂=90° 得
在 中，由正弦定理
在 中，由正弦定理
得
由 得
于是
从而
因为 ，故
第三步：由 分别解出 、
由 得 ，由 得 。两式相加：
又 ，代入得
解得
于是
第四步：算出 ，再求离心率
代入 、、：
又由 得
即
所以
补充说明：
一是由 与 还可得
即 ；与 联立直接得到 ，同样算出 。
二是 ，所以 取正根， 也保证了解出的 、、 有意义。
三是反向可验证：当 时，取 ，椭圆上确实存在满足条件 cos∠F₁PF₂ = 3/5 的点 ，且其角平分线交椭圆所得的点 满足 QF₁⊥QF₂（数值检验其夹角余弦约为 ）。
答案：