高中几何

每日一题 2026-03-17

设 HH 为三角形 ABCABC 的垂心，RR 为三角形 ABCABC 的外接圆半径。证明：三角形 ABCABC 为等边三角形当且仅当

HA→⋅HB→+HB→⋅HC→+HC→⋅HA→=−3R22.\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{HA}=-\frac{3R^2}{2}.

参考解答

解析

设 OO 为 △ABC\triangle ABC 的外接圆圆心。根据西尔维斯特定理（Sylvester’s Theorem），

OH→=OA→+OB→+OC→,\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC},

我们有：

∑HA→⋅HB→=∑(HO→+OA→)⋅(HO→+OB→)\sum \overrightarrow{HA} \cdot \overrightarrow{HB} = \sum (\overrightarrow{HO} + \overrightarrow{OA}) \cdot (\overrightarrow{HO} + \overrightarrow{OB})

=∑(HO2+HO→⋅OB→+HO→⋅OA→+OA→⋅OB→)= \sum (HO^2 + \overrightarrow{HO} \cdot \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{HO} \cdot \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB})

=3OH2+2HO→⋅(OA→+OB→+OC→)+∑R2+R2−c22= 3OH^2 + 2 \overrightarrow{HO} \cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) + \sum \frac{R^2 + R^2 - c^2}{2}

=OH2+3R2−∑c22= OH^2 + 3R^2 - \sum \dfrac{c^2}{2}

充分性：
当ABCABC为等边三角形时， O=HO = H，即外心与垂心重合，a=b=c=3Ra = b = c = \sqrt{3}R，所以 ∑c22=9R22\sum \dfrac{c^2}{2} = \dfrac{9R^2}{2}，代入得：

OH2+3R2−∑c22=OH2+3R2−9R22=−3R22OH^2 + 3R^2 - \sum \dfrac{c^2}{2}= OH^2 + 3R^2 - \dfrac{9R^2}{2} = -\dfrac{3R^2}{2}

必要性：
当 OH2+3R2−∑c22=−3R22OH^2 + 3R^2 - \sum \frac{c^2}{2} = -\frac{3R^2}{2} 时，

整理得：

OH2+92R2=12(a2+b2+c2)OH^2 + \frac{9}{2}R^2 = \frac{1}{2}(a^2 + b^2 + c^2)

由正弦定理：a=2Rsin⁡A⇒a2=4R2sin⁡2Aa = 2R \sin A \Rightarrow a^2 = 4R^2 \sin^2 A，代入得：

OH2+92R2=2R2(sin⁡2A+sin⁡2B+sin⁡2C)OH^2 + \frac{9}{2}R^2 = 2R^2(\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C)

=R2(3−cos⁡2A−cos⁡2B−cos⁡2C)= R^2 \left( 3 - \cos 2A - \cos 2B - \cos 2C \right)

OH2+32R2+R2(cos⁡2A+cos⁡2B+cos⁡2C)=0……(1)OH^2 + \frac{3}{2}R^2 + R^2(\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C) = 0 \quad \dots \dots (1)

下证： cos⁡2A+cos⁡2B+cos⁡2C≥−32\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C \ge -\frac{3}{2}

不妨设 A≥B≥CA \ge B \ge C，则 CC 为锐角。

cos⁡2A+cos⁡2B+cos⁡2C=2cos⁡(A+B)cos⁡(A−B)+cos⁡[2π−2(A+B)]\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = 2\cos(A+B)\cos(A-B) + \cos[2\pi - 2(A+B)]

=−2cos⁡Ccos⁡(A−B)+2cos⁡2C−1= -2\cos C \cos(A-B) + 2\cos^2 C - 1

≥2cos⁡2C−2cos⁡C−1\ge 2\cos^2 C - 2\cos C - 1

=2(cos⁡C−12)2−32= 2\left(\cos C - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{3}{2}

当 cos⁡C=12\cos C = \frac{1}{2} 且 A=BA = B，即 A=B=C=60∘A = B = C = 60^\circ 时取等号。

将 cos⁡2A+cos⁡2B+cos⁡2C≥−32\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C \ge -\frac{3}{2} 代入 (1) 得：

0≥OH20 \ge OH^2

∴OH=0\therefore OH = 0

即 外心与垂心重合。

∴△ABC\therefore \triangle ABC 为等边三角形。

证毕。 □\square