数学

每日一题 2026-03-18

如图，△ABC\triangle ABC 的三条边 BC=a,CA=b,AB=cBC=a, CA=b, AB=c，求三个角的平分线 ta,tb,tct_a, t_b, t_c 的长度公式。

参考解答

解析

设 ta=∣AE⃗∣t_a = |\vec{AE}|，其中 AEAE 为角 AA 的平分线。

根据三角形内角平分线定理，有 BEEC=cb\frac{BE}{EC} = \frac{c}{b}。

由于 B,E,CB, E, C 三点共线，利用向量的分点公式可得：

ta⃗=AE⃗=bb+c⋅AB⃗+cb+c⋅AC⃗\vec{t_a} = \vec{AE} = \frac{b}{b+c} \cdot \vec{AB} + \frac{c}{b+c} \cdot \vec{AC}

为方便计算，记 c⃗=AB⃗\vec{c} = \vec{AB} 且 ∣c⃗∣=c|\vec{c}|=c，记 b⃗=AC⃗\vec{b} = \vec{AC} 且 ∣b⃗∣=b|\vec{b}|=b。

计算模的平方：

∣ta⃗∣2=(bb+cc⃗+cb+cb⃗)2|\vec{t_a}|^2 = \left( \frac{b}{b+c}\vec{c} + \frac{c}{b+c}\vec{b} \right)^2

∣ta⃗∣2=b2c2(b+c)2+c2b2(b+c)2+2bc(b+c)2b⃗⋅c⃗|\vec{t_a}|^2 = \frac{b^2 c^2}{(b+c)^2} + \frac{c^2 b^2}{(b+c)^2} + \frac{2bc}{(b+c)^2} \vec{b} \cdot \vec{c}

利用余弦定理的向量形式，已知 a⃗=AC⃗−AB⃗=b⃗−c⃗\vec{a} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{c}，则：

a⃗2=(b⃗−c⃗)2=b⃗2+c⃗2−2b⃗⋅c⃗\vec{a}^2 = (\vec{b} - \vec{c})^2 = \vec{b}^2 + \vec{c}^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c}

可得：2b⃗⋅c⃗=b2+c2−a22\vec{b} \cdot \vec{c} = b^2 + c^2 - a^2。

代入并化简：

∣ta⃗∣2=2b2c2(b+c)2+bc(b2+c2−a2)(b+c)2|\vec{t_a}|^2 = \frac{2b^2 c^2}{(b+c)^2} + \frac{bc(b^2 + c^2 - a^2)}{(b+c)^2}

=bc(b+c)2(2bc+b2+c2−a2)= \frac{bc}{(b+c)^2} (2bc + b^2 + c^2 - a^2)

=bc(b+c)2[(b+c)2−a2]= \frac{bc}{(b+c)^2} [(b+c)^2 - a^2]

=bc(b+c)2(b+c+a)(b+c−a)= \frac{bc}{(b+c)^2} (b+c+a)(b+c-a)

令半周长 p=a+b+c2p = \dfrac{a+b+c}{2}，则 b+c−a=2(p−a)b+c-a = 2(p-a)，代入得：

ta2=bc(b+c)2⋅2p⋅2(p−a)=4bc(b+c)2p(p−a)t_a^2 = \frac{bc}{(b+c)^2} \cdot 2p \cdot 2(p-a) = \frac{4bc}{(b+c)^2} p(p-a)

因此：

ta=2bcb+cp(p−a)\boxed{t_a = \frac{2\sqrt{bc}}{b+c} \sqrt{p(p-a)}}

同理可得：

tb=2cac+ap(p−b)t_b = \frac{2\sqrt{ca}}{c+a} \sqrt{p(p-b)}

tc=2aba+bp(p−c)t_c = \frac{2\sqrt{ab}}{a+b} \sqrt{p(p-c)}

其中 p=a+b+c2p = \dfrac{a+b+c}{2} 为半周长。

答案：

ta=2bcb+cp(p−a),tb=2cac+ap(p−b),tc=2aba+bp(p−c)t_a = \frac{2\sqrt{bc}}{b+c} \sqrt{p(p-a)}, \quad t_b = \frac{2\sqrt{ca}}{c+a} \sqrt{p(p-b)}, \quad t_c = \frac{2\sqrt{ab}}{a+b} \sqrt{p(p-c)}

其中 p=a+b+c2p = \dfrac{a+b+c}{2}。