数学

每日一题 2026-03-19

在 △ABC\triangle ABC 中，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ，AC=1AC = 1。点 DD 在 ABAB 上满足 BD→=13BA→\overrightarrow{BD} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}，点 EE 在 CDCD 上满足 DE→=14DC→\overrightarrow{DE} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{DC}，点 FF 是 ACAC 的中点。求 BE→⋅BF→\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{BF} 的最大值。

参考解答

解析

以点 BB 为坐标原点，设 BA→=a\overrightarrow{BA} = \boldsymbol{a}，BC→=b\overrightarrow{BC} = \boldsymbol{b}。

由于 ∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ，所以 a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡60∘=12∣a∣∣b∣\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|。

由于 AC=1AC = 1，且 AC→=BC→−BA→=b−a\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}，所以：

∣b−a∣2=1|\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}|^2 = 1

∣b∣2+∣a∣2−2a⋅b=1|\boldsymbol{b}|^2 + |\boldsymbol{a}|^2 - 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 1

∣a∣2+∣b∣2−∣a∣∣b∣=1(1)|\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 - |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| = 1 \quad (1)

接下来表示各点的位置向量：

  • 点 DD：BD→=13BA→=13a\overrightarrow{BD} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA} = \dfrac{1}{3}\boldsymbol{a}
  • 点 CC：BC→=b\overrightarrow{BC} = \boldsymbol{b}
  • 向量 DC→=BC→−BD→=b−13a\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BD} = \boldsymbol{b} - \dfrac{1}{3}\boldsymbol{a}
  • 点 EE：BE→=BD→+DE→=BD→+14DC→=13a+14(b−13a)=14a+14b\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{BD} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{DC} = \dfrac{1}{3}\boldsymbol{a} + \dfrac{1}{4}\left(\boldsymbol{b} - \dfrac{1}{3}\boldsymbol{a}\right) = \dfrac{1}{4}\boldsymbol{a} + \dfrac{1}{4}\boldsymbol{b}
  • 点 AA：BA→=a\overrightarrow{BA} = \boldsymbol{a}
  • 点 FF（ACAC 中点）：BF→=12(BA→+BC→)=12(a+b)\overrightarrow{BF} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}) = \dfrac{1}{2}(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})

计算点积：

BE→⋅BF→=(14a+14b)⋅(12a+12b)\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{BF} = \left(\dfrac{1}{4}\boldsymbol{a} + \dfrac{1}{4}\boldsymbol{b}\right) \cdot \left(\dfrac{1}{2}\boldsymbol{a} + \dfrac{1}{2}\boldsymbol{b}\right)

=18∣a∣2+18a⋅b+18b⋅a+18∣b∣2= \dfrac{1}{8}|\boldsymbol{a}|^2 + \dfrac{1}{8}\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \dfrac{1}{8}\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a} + \dfrac{1}{8}|\boldsymbol{b}|^2

=18(∣a∣2+∣b∣2+2a⋅b)= \dfrac{1}{8}\left(|\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}\right)

=18(∣a∣2+∣b∣2+∣a∣∣b∣)(因为 a⋅b=12∣a∣∣b∣)= \dfrac{1}{8}\left(|\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\right) \quad (\text{因为 } \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \dfrac{1}{2}|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|)

由约束条件 (1)(1) 得：∣a∣2+∣b∣2=1+∣a∣∣b∣|\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 = 1 + |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|，代入上式：

BE→⋅BF→=18(1+∣a∣∣b∣+∣a∣∣b∣)=18(1+2∣a∣∣b∣)\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{BF} = \dfrac{1}{8}\left(1 + |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| + |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\right) = \dfrac{1}{8}\left(1 + 2|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\right)

现在需要最大化 ∣a∣∣b∣|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|。设 x=∣a∣x = |\boldsymbol{a}|，y=∣b∣y = |\boldsymbol{b}|，则约束条件为：

x2+y2−xy=1x^2 + y^2 - xy = 1

由基本不等式 x2+y2≥2xyx^2 + y^2 \geq 2xy，得：

2xy−xy≤1  ⟹  xy≤12xy - xy \leq 1 \implies xy \leq 1

当且仅当 x=yx = y 时取等号。此时 x2+x2−x2=x2=1x^2 + x^2 - x^2 = x^2 = 1，所以 x=y=1x = y = 1。

因此 ∣a∣∣b∣|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| 的最大值为 11。

答案：

max⁡(BE→⋅BF→)=18(1+2×1)=38\max(\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{BF}) = \dfrac{1}{8}(1 + 2 \times 1) = \dfrac{3}{8}