数学，向量

每日一题 2026-03-20

若向量 a⃗,b⃗,c⃗\vec{a},\vec{b},\vec{c} 满足：∣a⃗∣=3,∣b⃗∣=2,∣c⃗∣=1,(a⃗+b⃗)⋅c⃗=1+a⃗⋅b⃗|\vec{a}|=3,|\vec{b}|=2,|\vec{c}|=1,(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=1+\vec{a}\cdot\vec{b}，求 ∣a⃗−b⃗∣|\vec{a}-\vec{b}| 的最大值？

参考解答

析 不妨先分析"尾"：∣a⃗−b⃗∣|\vec{a}-\vec{b}|，遇模先平方，有 ∣a⃗−b⃗∣2=13−2a⃗⋅b⃗|\vec{a}-\vec{b}|^2=13-2\vec{a}\cdot\vec{b}，显然矛盾都集中在 a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b}，故而只须求 a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b} 的最小值，那么 a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b} 就是我们的主元，再看"首"，条件中 (a⃗+b⃗)⋅c⃗=1+a⃗⋅b⃗(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=1+\vec{a}\cdot\vec{b} 有 a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b}，首尾呼应，只须将式子的左边通过放缩，化为关于主元 a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b} 的式子即可。

解 依题有：∣a⃗−b⃗∣2=13−2a⃗⋅b⃗|\vec{a}-\vec{b}|^2=13-2\vec{a}\cdot\vec{b}，1+a⃗⋅b⃗=(a⃗+b⃗)⋅c⃗=∣a⃗+b⃗∣∣c⃗∣cos⁡<a⃗+b⃗,c⃗>1+\vec{a}\cdot\vec{b}=(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=|\vec{a}+\vec{b}||\vec{c}|\cos<\vec{a}+\vec{b},\vec{c}>，两边平方得：

(1+a⃗⋅b⃗)2=∣a⃗+b⃗∣2cos⁡2<a⃗+b⃗,c⃗>≤∣a⃗+b⃗∣2(1+\vec{a}\cdot\vec{b})^2=|\vec{a}+\vec{b}|^2\cos^2<\vec{a}+\vec{b},\vec{c}>\leq|\vec{a}+\vec{b}|^2

即 (1+a⃗⋅b⃗)2≤13+2a⃗⋅b⃗(1+\vec{a}\cdot\vec{b})^2\leq13+2\vec{a}\cdot\vec{b}，解得 −23≤a⃗⋅b⃗≤23-2\sqrt{3}\leq\vec{a}\cdot\vec{b}\leq2\sqrt{3}。

故有 ∣a⃗−b⃗∣2=13−2a⃗⋅b⃗≤13+43=(1+23)2|\vec{a}-\vec{b}|^2=13-2\vec{a}\cdot\vec{b}\leq13+4\sqrt{3}=(1+2\sqrt{3})^2，∴∣a⃗−b⃗∣\therefore|\vec{a}-\vec{b}| 的最大值为 1+231+2\sqrt{3}。

【点评】 在很多题目中，向量和式、差式、数量积式，其结构都有一定的显性牵连和隐藏关系，（特别是 a⃗±b⃗\vec{a}\pm\vec{b} 与 a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b} 的关系），须通过条件分析，以一式为"主元"，尝试归元，化为一元代数问题解决。