高中向量

每日一题 2026-03-21

设 OO 为 △ABC\triangle ABC 的外心，若 AO→=AB→+2AC→\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}，则 sin⁡∠BAC\sin \angle BAC 的值为？

参考解答

解

不妨设 △ABC\triangle ABC 三边为 a,b,ca,b,c。

在 AO→=AB→+2AC→\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} 两边点乘 AB→\overrightarrow{AB}：

AO→⋅AB→=∣AB→∣2+2AC→⋅AB→\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AB}|^2 + 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}

得：

c22=c2+2bccos⁡A\frac{c^2}{2} = c^2 + 2bc \cos A

cos⁡A=−c4b……(1)\cos A = -\frac{c}{4b} \quad \dots \dots (1)

在 AO→=AB→+2AC→\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} 两边点乘 AC→\overrightarrow{AC}：

AO→⋅AC→=2∣AC→∣2+AC→⋅AB→\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AC} = 2|\overrightarrow{AC}|^2 + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}

得：

b22=2b2+bccos⁡A\frac{b^2}{2} = 2b^2 + bc \cos A

cos⁡A=−3b2c……(2)\cos A = -\frac{3b}{2c} \quad \dots \dots (2)

由 (1)、(2) 得：

cos⁡2A=(−c4b)⋅(−3b2c)=38\cos^2 A = \left(-\frac{c}{4b}\right) \cdot \left(-\frac{3b}{2c}\right) = \frac{3}{8}

因此：

sin⁡A=1−cos⁡2A=1−38=58=104\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{5}{8}} = \frac{\sqrt{10}}{4}

【点评】

在向量式的两边点乘同一个向量，一般是借助条件中的显性数量积，从而将向量式化为代数式，得到对应的方程，凸显隐含条件，特别是在外接圆问题中，此法比较常见，注意向量式蕴藏两个方程，两次恰当点乘才能充分挖掘条件。

答案：sin⁡∠BAC=104\sin \angle BAC = \frac{\sqrt{10}}{4}