每日一题 2026-03-22

设平面向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 满足 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=6$, $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}) \cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})=-5$，则 $\boldsymbol{c} \cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a})$ 的最小值为？

参考解答

解 令 $\boldsymbol{m} = \boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}$, $\boldsymbol{n} = \boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$，则：

$|\boldsymbol{m}-\boldsymbol{n}| = |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| = 6$

$\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = -5$

由恒等式 $|\boldsymbol{m}+\boldsymbol{n}|^{2}=|\boldsymbol{m}-\boldsymbol{n}|^{2}+4 \boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}$ 得：

$|\boldsymbol{m}+\boldsymbol{n}|^{2} = 36 + 4 \times (-5) = 16$

故 $|\boldsymbol{m}+\boldsymbol{n}| = 4$。

又 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} = \boldsymbol{m}+\boldsymbol{n}+2 \boldsymbol{c}$，所以：

$\boldsymbol{c} \cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = \boldsymbol{c} \cdot(\boldsymbol{m}+\boldsymbol{n}+2 \boldsymbol{c}) = 2|\boldsymbol{c}|^{2}+\boldsymbol{c} \cdot(\boldsymbol{m}+\boldsymbol{n})$

由数量积定义：

$\boldsymbol{c} \cdot(\boldsymbol{m}+\boldsymbol{n}) = |\boldsymbol{c}||\boldsymbol{m}+\boldsymbol{n}| \cos \theta = 4|\boldsymbol{c}| \cos \theta$

当 $\cos \theta = -1$ 时取得最小值，即：

$\boldsymbol{c} \cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \geq 2|\boldsymbol{c}|^{2} - 4|\boldsymbol{c}|$

令 $t = |\boldsymbol{c}| \geq 0$，则 $f(t) = 2t^2 - 4t$。

二次函数顶点在 $t = 1$ 处，最小值为：

$f(1) = 2 - 4 = -2$

答案：$-2$

【点评】换元的目的，实际上是重新建构"基底"，换为新的基底，既是顺从题中的结构，也可以简化题意。实际上这也命题人的一种逆向思维，把简单的向量式赋值，命制出新的试题，而通过换元即又把问题返回为简化状态。