每日一题 2026-03-23

设平面向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=1$, $|\boldsymbol{b}|=2$，则 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|+|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ 的最大值为 ___，最小值为 ___。

参考解答

解 设 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\theta$，则：

$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^{2}=|\boldsymbol{a}|^{2}+|\boldsymbol{b}|^{2}+2|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta=1+4+4\cos\theta=5+4\cos\theta$

$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^{2}=|\boldsymbol{a}|^{2}+|\boldsymbol{b}|^{2}-2|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta=1+4-4\cos\theta=5-4\cos\theta$

故：

$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{5+4\cos\theta},\quad |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{5-4\cos\theta}$

设 $f(\theta)=\sqrt{5+4\cos\theta}+\sqrt{5-4\cos\theta}$，其中 $\theta\in[0,\pi]$。

平方处理：

$f^{2}(\theta)=(5+4\cos\theta)+(5-4\cos\theta)+2\sqrt{(5+4\cos\theta)(5-4\cos\theta)}$

$=10+2\sqrt{25-16\cos^{2}\theta}$

当 $\cos\theta=0$（即 $\theta=\dfrac{\pi}{2}$，$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$）时，$f^{2}$ 取最大值 $10+2\sqrt{25}=20$，此时 $f_{\max}=2\sqrt{5}$。

当 $\cos\theta=\pm 1$（即 $\theta=0$ 或 $\pi$，$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 同向或反向）时，$f^{2}$ 取最小值 $10+2\sqrt{9}=16$，此时 $f_{\min}=4$。

答案：最大值为 $2\sqrt{5}$，最小值为 $4$。

【点评】本题的关键在于利用模长平方展开后使用配方法。注意到 $(5+4\cos\theta)(5-4\cos\theta)=25-16\cos^{2}\theta$，其最大值出现在 $\cos\theta=0$ 时。另外，两向量同向或反向时取得最小值，这体现了三角不等式的核心思想。