每日一题 2026-03-30

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是三个单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$。求 $|2\vec{c} - \vec{a}| + \left|\dfrac{1}{2}\vec{c} - \vec{b}\right|$ 的最小值。

参考解答

析

由 $\vec{a} \perp \vec{b}$，建立直角坐标系，将向量坐标化，利用三角不等式求最值。

解

取 $\vec{a} = (1, 0)$，$\vec{b} = (0, 1)$，设 $\vec{c} = (x, y)$，则 $x^2 + y^2 = 1$。

设 $\vec{u} = (2-x,\, y)$，$\vec{v} = \left(x,\, \dfrac{1}{2}-y\right)$，则 $\vec{u}+\vec{v} = \left(2, \dfrac{1}{2}\right)$，$|\vec{u}+\vec{v}| = \dfrac{\sqrt{17}}{2}$。

由三角不等式

$|\vec{u}|+|\vec{v}| \geq |\vec{u}+\vec{v}| = \dfrac{\sqrt{17}}{2}$

等号成立当且仅当 $\vec{u}$ 与 $\vec{v}$ 同向，即存在 $\lambda>0$ 使 $(2-x,\, y) = \lambda\left(x,\, \dfrac{1}{2}-y\right)$。

由合比定理 $\dfrac{2-x}{x} = \dfrac{y}{\frac12-y}$ 得 $x+2y=1$。

联立 $x^2+y^2=1$ 与 $x+2y=1$，解得 $x=\dfrac35$，$y=\dfrac45$（另一组解 $x=1$，$y=0$ 经验证不满足 $\lambda>0$），此时 $\vec{c}=\left(\dfrac35,\dfrac45\right)$ 符合条件。

答案： $\dfrac{\sqrt{17}}{2}$

【点评】 本题的关键在于：1）建系将向量坐标化；2）将原式转化为 $\sqrt{(x-2)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-\frac12)^2}$ 的形式；3）构造常向量 $\vec{u}+\vec{v}$，利用三角不等式放缩求最值。