每日一题 2026-03-31

已知三个非零的平面向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ 满足以下条件：

1. $|\vec{a}| = 5$
2. $2|\vec{b}| = |\vec{c}|$
3. $(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$

求 $|\vec{b}|$ 的最小值。

参考解答

析 条件 $(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$ 表明向量 $\vec{b} - \vec{a}$ 与 $\vec{c} - \vec{a}$ 垂直。从几何角度看，若设 $\vec{a} = \overrightarrow{AC}$，$\vec{b} = \overrightarrow{AD}$，$\vec{c} = \overrightarrow{AB}$，则 $\overrightarrow{CD} \perp \overrightarrow{CB}$，即 $\triangle BCD$ 是以 $C$ 为直角顶点的直角三角形。

解 取 $BD$ 的中点 $O$，由直角三角形斜边中线性质知

$OC = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}|\vec{b} - \vec{c}|$

又由向量加法的平行四边形法则，$\vec{b} + \vec{c} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AO}$，故

$OA = \frac{1}{2}|\vec{b} + \vec{c}|$

在 $\triangle AOC$ 中，由三角形两边之和大于第三边，有

$OA + OC \geq AC$

即

$\frac{1}{2}\left(|\vec{b} + \vec{c}| + |\vec{b} - \vec{c}|\right) \geq 5$

所以

$|\vec{b} + \vec{c}| + |\vec{b} - \vec{c}| \geq 10$

设 $|\vec{b}| = r$，则 $|\vec{c}| = 2r$。令 $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为 $\theta$，则

$|\vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{r^2 + 4r^2 + 4r^2\cos\theta} = r\sqrt{5 + 4\cos\theta}$

$|\vec{b} - \vec{c}| = \sqrt{r^2 + 4r^2 - 4r^2\cos\theta} = r\sqrt{5 - 4\cos\theta}$

代入不等式得

$r\left(\sqrt{5 + 4\cos\theta} + \sqrt{5 - 4\cos\theta}\right) \geq 10$

设 $f(\theta) = \sqrt{5 + 4\cos\theta} + \sqrt{5 - 4\cos\theta}$，求其最小值。令 $t = \cos\theta \in [-1, 1]$，则

$f(t) = \sqrt{5+4t} + \sqrt{5-4t}$

$f^2(t) = 10 + 2\sqrt{25-16t^2}$

当 $t = 0$ 时，$f^2(t)$ 取最小值 $10 + 2\times 5 = 20$，即 $f(t)_{\min} = 2\sqrt{5}$。

因此

$r \cdot 2\sqrt{5} \geq 10$

$r \geq \frac{10}{2\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

当 $\cos\theta = 0$（即 $\vec{b} \perp \vec{c}$）且 $A$、$O$、$C$ 三点共线时，等号成立。

故 $|\vec{b}|$ 的最小值为 $\boxed{\sqrt{5}}$。

【点评】 本题巧妙地利用了几何意义将代数条件转化为直角三角形的性质，再结合三角形不等式和平行四边形法则建立关于 $|\vec{b}|$ 的不等式。关键在于认识到 $(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$ 表示以 $C$ 为顶点的直角，从而可以运用斜边中线定理。最后通过三角函数求最值，体现了代数与几何的完美结合。