每日一题 2026-04-01

设锐角三角形 $ABC$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，已知 $a = b \cos A - a \cos B$。

(1) 求证：$B = 2A$；

(2) 求 $\dfrac{b+c}{a}$ 的取值范围。

参考解答

析

本题考查正弦定理的应用、三角恒等变换以及角度关系的推导。第 (1) 问利用正弦定理将边化为角，结合三角函数公式化简；第 (2) 问由第 (1) 问结论将表达式用 $\cos A$ 表示，再利用锐角三角形的角度范围求值域。

解

(1) 证明：

由 $a = b \cos A - a \cos B$，根据正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$，得：

$\sin A = \sin B \cos A - \sin A \cos B$

利用三角函数公式化简：

$\sin A = \sin(B - A)$

因为 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，$A, B \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$

所以 $B - A \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$

又 $A > 0$，故 $A = B - A$，即：

$B = 2A$

(2) 解：

由 (1) 知 $B = 2A$，由正弦定理得：

$\frac{b+c}{a} = \frac{\sin B + \sin C}{\sin A} = \frac{\sin 2A + \sin 3A}{\sin A}$

利用三角恒等变换化简：

$\frac{b+c}{a} = 4\cos^2 A + 2\cos A - 1 = 4\left(\cos A + \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{5}{4}$

确定 $A$ 的范围：

由 $B = 2A \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 得：$A \in \left(0, \dfrac{\pi}{4}\right)$

由 $C = \pi - A - B = \pi - 3A \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$，解得：$A \in \left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right)$

综合得：$A \in \left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}\right)$，$\cos A \in \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

由于 $\dfrac{b+c}{a}$ 在 $\cos A \in \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 上单调递增，故：

$\frac{b+c}{a} \in (\sqrt{2} + 1,\ \sqrt{3} + 2)$

【点评】

本题的关键在于：1）利用正弦定理实现边角互化；2）利用三角函数公式 $\sin(B-A)$ 化简；3）注意锐角三角形的三个角都小于 $90^\circ$，需要综合考虑 $A, B, C$ 的范围；4）将目标表达式配方后利用单调性求值域。易错点是遗漏 $C$ 为锐角的条件，导致 $A$ 的范围不准确。

答案：

(1) 证明见解析；(2) $(\sqrt{2} + 1,\ \sqrt{3} + 2)$