高中三角函数

每日一题 2026-04-11

每日一题 2026-04-11

已知 ΔABC\Delta ABC 的边 AC=2AC = 2，且 3tan⁡A+2tan⁡B=1\displaystyle \frac{3}{\tan A} + \frac{2}{\tan B} = 1，则 ΔABC\Delta ABC 的面积的最大值为 _______。

参考解答

解析

由已知 3tan⁡A+2tan⁡B=1\displaystyle \frac{3}{\tan A} + \frac{2}{\tan B} = 1，切化弦得：

3cos⁡Asin⁡A+2cos⁡Bsin⁡B=1\frac{3\cos A}{\sin A} + \frac{2\cos B}{\sin B} = 1

通分整理：

3sin⁡Bcos⁡A+2cos⁡Bsin⁡A=sin⁡Asin⁡B3\sin B\cos A + 2\cos B\sin A = \sin A\sin B

即：

2sin⁡(A+B)=sin⁡Asin⁡B−sin⁡Bcos⁡A2\sin(A+B) = \sin A\sin B - \sin B\cos A

∵A+B+C=π\because A+B+C = \pi，∴sin⁡(A+B)=sin⁡C\therefore \sin(A+B) = \sin C

∴2sin⁡C=(sin⁡A−cos⁡A)sin⁡B\therefore 2\sin C = (\sin A - \cos A)\sin B

由正弦定理 csin⁡C=bsin⁡B\displaystyle \frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}，且 b=AC=2b = AC = 2，得：

2c=b(sin⁡A−cos⁡A)=2(sin⁡A−cos⁡A)2c = b(\sin A - \cos A) = 2(\sin A - \cos A)

∴c=sin⁡A−cos⁡A\therefore c = \sin A - \cos A ……①

三角形面积：

S=12bcsin⁡A=12⋅2⋅(sin⁡A−cos⁡A)⋅sin⁡A=sin⁡2A−sin⁡Acos⁡A=1−cos⁡2A2−12sin⁡2A=12−12(cos⁡2A+sin⁡2A)=12−22sin⁡(2A+π4)\begin{aligned} S &= \frac{1}{2}bc\sin A \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (\sin A - \cos A) \cdot \sin A \\ &= \sin^2 A - \sin A\cos A \\ &= \frac{1-\cos 2A}{2} - \frac{1}{2}\sin 2A \\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(\cos 2A + \sin 2A) \\ &= \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\left(2A + \frac{\pi}{4}\right) \end{aligned}

由①式 c>0c > 0 可知 sin⁡A>cos⁡A\sin A > \cos A，又 A∈(0,π)A \in (0, \pi)，∴A∈(π4,π)\therefore A \in \left(\frac{\pi}{4}, \pi\right)

∴2A+π4∈(3π4,9π4)\therefore 2A + \frac{\pi}{4} \in \left(\frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}\right)

当 2A+π4=3π22A + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}，即 A=5π8A = \frac{5\pi}{8} 时，sin⁡(2A+π4)=−1\sin\left(2A + \frac{\pi}{4}\right) = -1，面积取最大值：

Smax⁡=12−22⋅(−1)=1+22S_{\max} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-1) = \frac{1+\sqrt{2}}{2}

答案：1+22\displaystyle \dfrac{1+\sqrt{2}}{2}