每日一题：2026-05-29

题目

在四面体$ABCD$中，若$AB=CD=5, AC=\sqrt{41}, BD=3, AD=BC=5$，则四面体$ABCD$外接球的表面积为$\underline{\quad\quad}$．

参考解答

解析：

如图，设$BD,AC$的中点分别为$E,F$，球心为$O$，半径为$R$，
$\because AB=CD=5, AC=\sqrt{41}, BD=3, AD=BC=5,$
$\therefore AE\perp BD,CE\perp BD$，又$AE\cap CE=E$，$AE,CE\subset$平面$ACE$，
$\therefore BD\perp$平面$ACE$，又$EF\subset$平面$ACE$，
$\therefore BD\perp EF$，则$EF$垂直平分$BD$，
同理可得$EF$垂直平分$AC$，故球心$O$在$EF$上，设$OE=x$，
$AE=CE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\frac{\sqrt{91}}{2},\ EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\frac{5\sqrt{2}}{2},$
$OB^2=OE^2+BE^2=x^2+\frac{9}{4},OA^2=AF^2+OF^2=\frac{41}{4}+\left( \frac{5\sqrt{2}}{2}-x \right)^2,$
又$OB^2=OA^2$，解得$x=\frac{41\sqrt{2}}{20},\ R^2=x^2+\frac{9}{4}=\frac{2131}{200},$
则四面体$ABCD$外接球的表面积为$\frac{2131}{50}\pi$。

答案：$\displaystyle \frac{2131}{50}\pi$