每日一题：2026-06-01

题目

圆锥$PO$的母线长为2，底面半径为1，过圆锥顶点$P$和底面圆圆周上任意两点$A,B$作圆锥的截面，当底面圆心$O$到截面$PAB$的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$\triangle PAB$重心的轨迹所围成图形的面积是$\underline{\quad\quad}$．

参考解答

解析：

如图，设$C$为$AB$中点，连接$PC$，作$OD \perp$平面$PAB$，连接$AD,BD$，

又$AD,BD \subset$平面$PAB$，则$OD \perp AD, OD \perp BD$，

又$OA=OB,OD=OD$，所以$\triangle ODA \cong \triangle ODB$，

所以$AD=BD$，又$PD=PD,PA=PB$，所以$\triangle PAD \cong \triangle PBD$，

所以$\angle APD= \angle BPD$，所以垂足$D$必在$PC$上，由题意可知$PO=\sqrt{3}, OD=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\sin\angle CPO=\frac{1}{3},\cos\angle CPO=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，

$\therefore PC=\frac{PO}{\cos\angle CPO}=\frac{3\sqrt{6}}{4},$

由于$\triangle PAB$为等腰三角形，
所以重心$G$在底边的中线$PC$靠近点$C$的三等分点处，

$\therefore PG=\frac{3\sqrt{6}}{4} \times \frac{2}{3}=\frac{\sqrt{6}}{2},$

作$GM \perp PO$，垂足为$M$，
则

可知点$G$的轨迹是以$M$为圆心，半径为$\frac{\sqrt{6}}{6}$的圆，其面积为$\frac{\pi}{6}$。

答案：$\displaystyle \frac{\pi}{6}$