题目
如图，在三棱台中，，，，，分别为，的中点，且．
(1) 证明：平面；
(2) 证明：平面平面；
(3) 若，求平面与平面的夹角的正弦值．
参考解答
解析：
**(1)** 记的交点为，、的交点为，连接，
因为是三角形的中线，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，
因为平面，平面，所以平面．
---
**(2)** 由(1)可知，，，所以，所以，
因为，所以，
因为，分别为，的中点，所以，且，
所以，所以，
因为，所以，
所以，，
所以，，所以，
所以，又是平面内的相交直线，所以平面，
又平面，所以平面平面．
---
**(3)** 由(2)知，，，
所以（或其补角）即为平面与平面的夹角，
因为且，所以，，
所以四边形为平行四边形，，
因为，所以，
由余弦定理得，所以，
所以，则，
又，，
所以，
因为，所以即为平面与平面的夹角，
所以．
答案：