每日一题：2026-05-28

题目

已知四棱锥$S-ABCD$，$SA\perp$平面$ABCD$，$AD\perp DC$，$SA=3\sqrt{3}$，$BC=4$，二面角$S-BC-A$的大小为$\frac{\pi}{3}$．若点$S$，$A$，$B$，$C$，$D$均在球$O$的表面上，则该球$O$的表面积为$\underline{\quad\quad}$．

参考解答

解析：

由$AD\perp DC$，点$S,A,B,C,D$均在球$O$的表面上，
得四边形$ABCD$内接于圆，则$\angle ABC=90^\circ$，即$BC\perp AB$，
由$SA\perp$平面$ABCD$，$BC\subset$平面$ABCD$，得$SA\perp BC$，
又$AB\perp BC$，$SA\cap AB=A$，$SA,AB\subset$平面$SAB$，则$BC\perp$平面$SAB$，
而$SB\subset$平面$SAB$，则$BC\perp SB$，又$AB\perp BC$，
因此二面角$S-BC-A$的平面角为$\angle SBA$，即$\angle SBA=\frac{\pi}{3}$，
在$\text{Rt}\triangle ABS$中，由$SA=3\sqrt{3}$，得$AB=\frac{SA}{\tan\frac{\pi}{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=3$，
四边形$ABCD$外接圆的直径，即$\text{Rt}\triangle ABC$外接圆的直径$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5$，
由$SA\perp$平面$ABCD$，得四棱锥$S-ABCD$外接球的半径$R=\sqrt{\left(\frac{1}{2}AC\right)^2+\left(\frac{1}{2}SA\right)^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{27}{4}}=\sqrt{13}$
所以四棱锥$S-ABCD$外接球的表面积为$S=4\pi(\sqrt{13})^2=52\pi$．

答案：$\displaystyle 52\pi$