每日一题：2026-05-30

题目

已知正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为1，$P$为平面$ABCD$内一动点，且直线$D_{1}P$与平面$ABCD$所成角为$\frac{\pi}{3}$，点$E$为正方形$A_{1}ADD_{1}$的中心，若点$H$为直线$B_{1}D$上一动点，则$(HP+HE)^2$的最小值为$\underline{\quad\quad}$．

参考解答

解析：

如图，在正方体中，$D_{1}D\perp$平面$ABCD$，直线$D_{1}P$与平面$ABCD$所成的角为$\angle D_{1}PD$（$D$是$D_{1}$在底面的射影），

在$\text{Rt}\triangle D_{1}DP$中，$D_{1}D=1$，则$PD=\frac{D_{1}D}{\tan\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则点$P$的轨迹是以$D$为圆心，$\frac{\sqrt{3}}{3}$为半径的圆（在平面$ABCD$内）．

将平面$A_{1}B_{1}D$沿着$B_{1}D$翻折至平面$A_{1}'B_{1}D$，使其与平面$BB_{1}D$共面，翻折后$A_{1}$与$E$的对应点为$A_{1}'$与$E'$（如图所示）．

由几何性质可知$HP+HE'=HP+HE\geq PE'$（当且仅当$H$在$PE'$与$B_{1}D$的交点时取等号）．

在$\triangle PDE'$中，$DE'=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$DP=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则$\cos\angle BDA_{1}=\cos 2\angle BDB_{1}=2\cos^{2}\angle BDB_{1}-1=2\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^{2}-1=\frac{1}{3}$，

由余弦定理，

$PE'^{2}=DE'^{2}+DP^{2}-2\cdot DE'\cdot DP\cos\angle BDA_{1}$

$=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-2\times\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{5}{6}-\frac{\sqrt{6}}{9}$

所以$(HP+HE)^{2}$的最小值为$\frac{5}{6}-\frac{\sqrt{6}}{9}$．

答案：$\displaystyle \frac{5}{6}-\frac{\sqrt{6}}{9}$