高中数学

每日一题：2026-04-18

题目

（北大寒假学堂）已知复数 zz 满足 ∣z∣=1|z|=1，且 z17+z=1z^{17}+z=1，求 z=z=（ ）

A. 12±32i\displaystyle \frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i

B. 32±12i\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\pm\frac{1}{2}i

C. 22±22i\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\pm\frac{\sqrt{2}}{2}i

D. 以上都不对

参考解答

解析：

由 z17+z=1z^{17}+z=1，得 z17=1−zz^{17}=1-z。

两边取模，得 ∣z17∣=∣1−z∣|z^{17}|=|1-z|。

因为 ∣z∣=1|z|=1，所以 ∣z17∣=∣z∣17=1|z^{17}|=|z|^{17}=1，故 ∣1−z∣=1|1-z|=1。

设 z=x+yiz=x+yi（x,y∈Rx,y\in\mathbb{R}），则：

∣z∣=x2+y2=1⇒x2+y2=1①|z|=\sqrt{x^2+y^2}=1 \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2=1 \quad\text{①}

∣1−z∣=(1−x)2+y2=1⇒(1−x)2+y2=1②|1-z|=\sqrt{(1-x)^2+y^2}=1 \quad\Rightarrow\quad (1-x)^2+y^2=1 \quad\text{②}

将①代入②，得：

(1−x)2+y2=1−2x+x2+y2=1−2x+1=1(1-x)^2+y^2=1-2x+x^2+y^2=1-2x+1=1

解得 x=12x=\dfrac{1}{2}。

代入①，得 y2=1−14=34y^2=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}，故 y=±32y=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}。

因此 z=12±32iz=\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}i。

验证：

z=12±32i=e±iπ/3z=\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}i=e^{\pm i\pi/3}

z17=e±17iπ/3=e±(6π−π/3)i=e∓iπ/3z^{17}=e^{\pm 17i\pi/3}=e^{\pm(6\pi-\pi/3)i}=e^{\mp i\pi/3}

z17+z=e∓iπ/3+e±iπ/3=2cos⁡π3=1z^{17}+z=e^{\mp i\pi/3}+e^{\pm i\pi/3}=2\cos\dfrac{\pi}{3}=1 ✓

答案：A\displaystyle \text{A}