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每日一题：2026-04-19

题目

已知 k+2k+2 个两两互不相等的复数

z1,  z2,  …,  zk,  w1,  w2z_1,\;z_2,\;\dots,\;z_k,\;w_1,\;w_2

满足

w1‾−w2‾=4w1−w2,\overline{w_1}-\overline{w_2}=\dfrac{4}{w_1-w_2},

且

∣wj−za∣∈{1,3}(j=1,2;  a=0,1,2,…,k),|w_j-z_a|\in\{1,3\}\quad(j=1,2;\;a=0,1,2,\dots,k),

则 kk 的最大值为 ______。

参考解答

解析：

由 w1‾−w2‾=4w1−w2\overline{w_1}-\overline{w_2}=\dfrac{4}{w_1-w_2}，两边同乘 (w1−w2)(w_1-w_2)，得

(w1‾−w2‾)(w1−w2)=4(\overline{w_1}-\overline{w_2})(w_1-w_2)=4

即 ∣w1−w2∣2=4|w_1-w_2|^2=4，故 ∣w1−w2∣=2|w_1-w_2|=2。

设 w1w_1、w2w_2 对应平面内的点 FF、GG，则 ∣FG∣=2|FG|=2。

因为 ∣wj−za∣∈{1,3}|w_j-z_a|\in\{1,3\}（j=1,2j=1,2），

所以点 zaz_a 到点 FF、GG 的距离分别为 11 或 33。

以 FF、GG 为圆心，半径分别为 11 和 33 作圆，则点 zaz_a 必在这些圆的交点上。

由图可知，两圆相交最多有 22 个交点，再加上 FF、GG 两点本身，以及两圆外切或内切时的特殊点，构成了点 AA、BB、CC、DD、EE 共 55 个点。

故 kk 的最大值为 55。

答案：5\displaystyle 5