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每日一题：2026-04-20

题目

已知在复数集中，等式

x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=(x−z1)(x−z2)(x−z3)(x−z4)x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4)

对任意复数 xx 恒成立，复数 z1z_1、z2z_2、z3z_3、z4z_4 在复平面上对应的 44 个点为某个单位圆内接正方形的 44 个顶点。已知

{a0,a1,a2,a3}⊂{n∣1≤n≤2024,  n∈Z},\{a_0,a_1,a_2,a_3\}\subset\{n\mid 1\leq n\leq 2024,\;n\in\mathbb{Z}\},

则满足条件的不同集合 {a0,a1,a2,a3}\{a_0,a_1,a_2,a_3\} 个数为 ______。

参考解答

解析：

由实系数一元二次方程，复数根互为共轭复数根；一元四次方程可以分解为两个一元二次方程。因此四个根应该两两互为共轭复数根（或实数根），故圆心在 xx 轴上。据此分类讨论可求得结论。

详解：

将右边展开：

(x−z1)(x−z2)(x−z3)(x−z4)=  x4−(z1+z2+z3+z4)x3+(z1z2+z1z3+z1z4+z2z3+z2z4+z3z4)x2−(z1z2z3+z1z2z4+z1z3z4+z2z3z4)x+z1z2z3z4\begin{aligned} &(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4)\\ =\;&x^4-(z_1+z_2+z_3+z_4)x^3\\ &+(z_1z_2+z_1z_3+z_1z_4+z_2z_3+z_2z_4+z_3z_4)x^2\\ &-(z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_1z_3z_4+z_2z_3z_4)x\\ &+z_1z_2z_3z_4 \end{aligned}

对比系数可得：

a0=z1z2z3z4,a1=−(z1+z2+z3+z4)a_0=z_1z_2z_3z_4,\quad a_1=-(z_1+z_2+z_3+z_4)

a2=∑i<jzizj,a3=−(z1z2z3+z1z2z4+z1z3z4+z2z3z4)a_2=\sum_{i<j}z_iz_j,\quad a_3=-(z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_1z_3z_4+z_2z_3z_4)

注意：题目中 a3a_3 是 x3x^3 的系数（即 −(z1+z2+z3+z4)-(z_1+z_2+z_3+z_4)），故应将上面 a1,a3a_1,a_3 互换记号。下取标准 Vieta 写法：

a3=−(z1+z2+z3+z4),a2=∑i<jzizj,a_3=-(z_1+z_2+z_3+z_4),\quad a_2=\sum_{i<j}z_iz_j,

a1=−∑zizjzk,a0=z1z2z3z4.a_1=-\sum z_iz_jz_k,\quad a_0=z_1z_2z_3z_4.

复数 z1z_1、z2z_2、z3z_3、z4z_4 在复平面上对应的 44 个点为某个单位圆内接正方形的 44 个顶点，圆心在 xx 轴上，设圆心为 (a,0)(a,0)。

情形 1：四个根两两互为共轭复数。不妨设：

z1=a+22+22i,z2=a−22+22iz_1=a+\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i},\quad z_2=a-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}

z3=a−22−22i,z4=a+22−22iz_3=a-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i},\quad z_4=a+\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}

计算 a0a_0：

a0=z1z2z3z4=[(a+22i)2−12][(a−22i)2−12]=[a2+2ai−1][a2−2ai−1]=(a2−1)2+2a2=a4+1\begin{aligned} a_0&=z_1z_2z_3z_4\\ &=\left[\left(a+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}\right)^2-\dfrac{1}{2}\right]\left[\left(a-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}\right)^2-\dfrac{1}{2}\right]\\ &=[a^2+\sqrt{2}a\mathrm{i}-1][a^2-\sqrt{2}a\mathrm{i}-1]\\ &=(a^2-1)^2+2a^2\\ &=a^4+1 \end{aligned}

类似计算可得：

a3=−(z1+z2+z3+z4)=−4a,a2=6a2,a1=−4a3a_3=-(z_1+z_2+z_3+z_4)=-4a,\quad a_2=6a^2,\quad a_1=-4a^3

因为 {a0,a1,a2,a3}⊂{n∣1≤n≤2024,  n∈Z}\{a_0,a_1,a_2,a_3\}\subset\{n\mid 1\leq n\leq 2024,\;n\in\mathbb{Z}\}，所以 aa 只能为负整数，又集合元素的互异性，从而可得 a=−2,−3,−4,−5,−6a=-2,-3,-4,-5,-6，此时集合 {a0,a1,a2,a3}\{a_0,a_1,a_2,a_3\} 的个数为 55 个。

情形 2：四个根有 22 个为实数，另外 22 个为共轭复数。设圆心为 (a,0)(a,0)，不妨设：

z1=a−1,z2=a+i,z3=a+1,z4=a−iz_1=a-1,\quad z_2=a+\mathrm{i},\quad z_3=a+1,\quad z_4=a-\mathrm{i}

计算可得：

a0=z1z2z3z4=(a2−1)(a2+1)=a4−1a_0=z_1z_2z_3z_4=(a^2-1)(a^2+1)=a^4-1

a3=−4a,a2=6a2,a1=−4a3a_3=-4a,\quad a_2=6a^2,\quad a_1=-4a^3

因为 {a0,a1,a2,a3}⊂{n∣1≤n≤2024,  n∈Z}\{a_0,a_1,a_2,a_3\}\subset\{n\mid 1\leq n\leq 2024,\;n\in\mathbb{Z}\}，所以 aa 只能为负整数，又集合元素的互异性，从而可得 a=−2,−3,−4,−5,−6a=-2,-3,-4,-5,-6，此时集合 {a0,a1,a2,a3}\{a_0,a_1,a_2,a_3\} 的个数为 55 个。

综上：满足条件的不同集合 {a0,a1,a2,a3}\{a_0,a_1,a_2,a_3\} 的个数为

10\boxed{10}

答案：10\displaystyle 10