题目
已知在复数集中，等式
对任意复数 恒成立，复数 、、、 在复平面上对应的 个点为某个单位圆内接正方形的 个顶点。已知
则满足条件的不同集合 ${a0,a1,a2,a3}$ 个数为 __。
参考解答
解析：
由实系数一元二次方程，复数根互为共轭复数根；一元四次方程可以分解为两个一元二次方程。因此四个根应该两两互为共轭复数根（或实数根），故圆心在 轴上。据此分类讨论可求得结论。
详解：
将右边展开：
对比系数可得：
注意：题目中 是 的系数（即 ），故应将上面 互换记号。下取标准 Vieta 写法：
复数 、、、 在复平面上对应的 个点为某个单位圆内接正方形的 个顶点，圆心在 轴上，设圆心为 。
情形 1：四个根两两互为共轭复数。不妨设：
计算 ：
类似计算可得：
因为 ，所以 只能为负整数，又集合元素的互异性，从而可得 ，此时集合 的个数为 个。
情形 2：四个根有 个为实数，另外 个为共轭复数。设圆心为 ，不妨设：
计算可得：
因为 ，所以 只能为负整数，又集合元素的互异性，从而可得 ，此时集合 的个数为 个。
综上：满足条件的不同集合 的个数为
答案：