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每日一题：2026-04-21

题目

已知复数 z1,z2z_1, z_2 满足：

∣z1+z2∣=5,∣z1−z2∣=53,arg⁡z1+z2z1−z2=90°|z_1+z_2| = 5, \quad |z_1-z_2| = 5\sqrt{3}, \quad \arg\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2} = 90°

求 log⁡5∣(z1z2‾)2024+(z1‾z2)2024∣\log_5\left|(z_1\overline{z_2})^{2024} + (\overline{z_1}z_2)^{2024}\right| 的值。

参考解答

解析：

第一步：由辐角条件得比例关系

由 arg⁡z1+z2z1−z2=90°\arg\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2} = 90°，得：

z1+z2z1−z2=ki(k>0)\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2} = ki \quad (k>0)

第二步：利用模长求 kk

∣z1+z2z1−z2∣=∣z1+z2∣∣z1−z2∣=553=13\left|\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}\right| = \frac{|z_1+z_2|}{|z_1-z_2|} = \frac{5}{5\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}

所以 z1+z2z1−z2=i3\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2} = \frac{i}{\sqrt{3}}，即：

z1+z2=i3(z1−z2)z_1+z_2 = \frac{i}{\sqrt{3}}(z_1-z_2)

第三步：整理求 z1z2\frac{z_1}{z_2}

3(z1+z2)=i(z1−z2)\sqrt{3}(z_1+z_2) = i(z_1-z_2)

3z1+3z2=iz1−iz2\sqrt{3}z_1 + \sqrt{3}z_2 = iz_1 - iz_2

(3−i)z1=(−3−i)z2(\sqrt{3}-i)z_1 = (-\sqrt{3}-i)z_2

z1z2=−3−i3−i=(−3−i)(3+i)(3−i)(3+i)=−3−3i−3i+14=−1+3i2\frac{z_1}{z_2} = \frac{-\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}-i} = \frac{(-\sqrt{3}-i)(\sqrt{3}+i)}{(\sqrt{3}-i)(\sqrt{3}+i)} = \frac{-3-\sqrt{3}i-\sqrt{3}i+1}{4} = -\frac{1+\sqrt{3}i}{2}

记 ω=ei2π3=−12+32i\omega = e^{i\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i，则：

z1z2=ω2\frac{z_1}{z_2} = \omega^2

其中 ω\omega 是三次单位根，满足：

ω3=1,1+ω+ω2=0,ω‾=ω2\omega^3 = 1, \quad 1+\omega+\omega^2 = 0, \quad \overline{\omega} = \omega^2

第四步：求 ∣z1∣|z_1| 和 ∣z2∣|z_2|

由 z1=z2ω2z_1 = z_2\omega^2 及 ∣z1+z2∣=5|z_1+z_2| = 5：

∣z1+z2∣=∣z2ω2+z2∣=∣z2∣∣1+ω2∣=∣z2∣∣−ω∣=∣z2∣=5|z_1+z_2| = |z_2\omega^2 + z_2| = |z_2||1+\omega^2| = |z_2||-\omega| = |z_2| = 5

所以 ∣z2∣=5|z_2| = 5，进而 ∣z1∣=5|z_1| = 5。

第五步：计算 z1z2‾z_1\overline{z_2} 和 z1‾z2\overline{z_1}z_2

z1z2‾=z2ω2⋅z2‾=∣z2∣2ω2=25ω2z_1\overline{z_2} = z_2\omega^2 \cdot \overline{z_2} = |z_2|^2 \omega^2 = 25\omega^2

z1‾z2=z2ω2‾⋅z2=∣z2∣2⋅ω=25ω\overline{z_1}z_2 = \overline{z_2\omega^2} \cdot z_2 = |z_2|^2 \cdot \omega = 25\omega

第六步：计算目标表达式

(z1z2‾)2024+(z1‾z2)2024=(25ω2)2024+(25ω)2024=252024(ω4048+ω2024)(z_1\overline{z_2})^{2024} + (\overline{z_1}z_2)^{2024} = (25\omega^2)^{2024} + (25\omega)^{2024} = 25^{2024}(\omega^{4048} + \omega^{2024})

由于 ω3=1\omega^3 = 1，计算指数模 3：

4048=3×1349+1⇒ω4048=ω4048 = 3 \times 1349 + 1 \Rightarrow \omega^{4048} = \omega

2024=3×674+2⇒ω2024=ω22024 = 3 \times 674 + 2 \Rightarrow \omega^{2024} = \omega^2

所以：

ω4048+ω2024=ω+ω2=−1\omega^{4048} + \omega^{2024} = \omega + \omega^2 = -1

第七步：求最终答案

∣(z1z2‾)2024+(z1‾z2)2024∣=∣252024⋅(−1)∣=252024\left|(z_1\overline{z_2})^{2024} + (\overline{z_1}z_2)^{2024}\right| = |25^{2024} \cdot (-1)| = 25^{2024}

log⁡5∣(z1z2‾)2024+(z1‾z2)2024∣=log⁡5(252024)=log⁡5(54048)=4048\log_5\left|(z_1\overline{z_2})^{2024} + (\overline{z_1}z_2)^{2024}\right| = \log_5(25^{2024}) = \log_5(5^{4048}) = 4048

答案：4048\displaystyle 4048

核心考点：

  • 复数的辐角与三角形式
  • 三次单位根 ω\omega 的性质（ω3=1\omega^3=1，1+ω+ω2=01+\omega+\omega^2=0）
  • 指数模 3 化简
  • 对数运算

关键技巧：

  1. 辐角 90° → 纯虚数比 kiki
  2. 构造三次单位根简化计算
  3. 利用 ω+ω2=−1\omega + \omega^2 = -1