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每日一题：2026-04-21

题目

已知复数满足：

$|z_1+z_2| = 5, \quad |z_1-z_2| = 5\sqrt{3}, \quad \arg\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2} = 90°$

求的值。

参考解答

解析： 第一步：由辐角条件得比例关系 由

，得：

第二步：利用模长求

所以

，即：

第三步：整理求

记

，则：

其中

是三次单位根，满足：

第四步：求和 由

及

：

所以

，进而

。 第五步：计算和

第六步：计算目标表达式

由于

，计算指数模 3：

所以：

第七步：求最终答案

答案：

核心考点：

复数的辐角与三角形式
三次单位根的性质（，）
指数模 3 化简
对数运算

关键技巧：

辐角 90° → 纯虚数比
构造三次单位根简化计算
利用