每日一题 2026-04-22

每日一题 2026-04-22

已知关于 $x$ 的方程 $x^2 + 2\sqrt{3}x + m = 0 \ (m \in \mathbf{R})$ 有两个复数根 $x_1, x_2$。

1. 若 $\text{Im} \, x_1 < \text{Im} \, x_2 < 1$，求 $m$ 的取值范围；
2. 若 $\dfrac{1}{|x_1|} + \dfrac{1}{|x_2|} = 1$，求 $m$ 的值。

参考解答

解析

已知 $x^2 + 2\sqrt{3}x + m = 0 \ (m \in \mathbf{R})$，则 $\Delta = (2\sqrt{3})^2 - 4m = 12 - 4m$。

(1) 若 $\text{Im} \, x_1 < \text{Im} \, x_2 < 1$：

• 若 $\Delta = 12 - 4m \ge 0$，根为实数，虚部为 $0$，不满足 $\text{Im} \, x_1 < \text{Im} \, x_2 < 1$。
• 若 $\Delta = 12 - 4m < 0$，根为虚数，由求根公式得：

$x = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{4m-12}i}{2} = -\sqrt{3} \pm \sqrt{m-3}i$

• 由 $\text{Im} \, x_1 < \text{Im} \, x_2 < 1$ 可知，$\text{Im} \, x_1 = -\sqrt{m-3}$，$\text{Im} \, x_2 = \sqrt{m-3} < 1$。
• 建立不等式组：

$\begin{cases} 12 - 4m < 0 \\ \sqrt{m-3} < 1 \end{cases} \Rightarrow 3 < m < 4$

(2) 若 $\dfrac{1}{|x_1|} + \dfrac{1}{|x_2|} = 1$：

i) 当 $\Delta \ge 0$，即 $m \le 3$ 时，由韦达定理知：
$x_1 + x_2 = -2\sqrt{3}$，$x_1 x_2 = m$。

• 若 $m < 0$，两根异号，$|x_1| + |x_2| = |x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{12 - 4m}$。

  由 $\dfrac{1}{|x_1|} + \dfrac{1}{|x_2|} = \dfrac{|x_1| + |x_2|}{|x_1||x_2|} = \dfrac{|x_1 - x_2|}{|x_1x_2|} = \dfrac{\sqrt{12-4m}}{|m|} = 1$

  $\Rightarrow 12 - 4m = m^2 \Rightarrow m = -6$ 或 $m = 2$（因 $m < 0$，故舍去 $2$）。

• 若 $0 \le m \le 3$，两根同号为负，$|x_1| + |x_2| = |x_1 + x_2| = 2\sqrt{3}$。

  由 $\dfrac{1}{|x_1|} + \dfrac{1}{|x_2|} = \dfrac{|x_1| + |x_2|}{|x_1||x_2|} = \dfrac{|x_1 + x_2|}{|x_1x_2|} = \dfrac{2\sqrt{3}}{m} = 1$

  $\Rightarrow m = 2\sqrt{3} > 3$，矛盾，舍去。

ii) 当 $\Delta < 0$，即 $m > 3$ 时，$x_1$ 与 $x_2$ 是共轭虚数，则 $|x_1| = |x_2|$。

结合 $\dfrac{1}{|x_1|} + \dfrac{1}{|x_2|} = 1$，得 $|x_1| = 2$。

$\therefore 4 = |x_1|^2 = x_1 \bar{x}_1 = x_1 x_2 = m$。

答案：$\displaystyle \text{1. } m \in (3, 4) \quad \text{2. } m = -6 \text{ 或 } m = 4$