每日一题：2026-04-23

题目

已知 $f(z) = z^{10} + z^{-10} + \dfrac{1}{2}(z^5 + z^{-5})$ ，则（）

参考解答

答案：BC

解析

设 $z^5 + z^{-5} = t$ ，利用换元法可求得 $z^5 = \dfrac{t \pm \sqrt{4-t^2}i}{2}$ ，从而可判断 $f(z) = 0$ 的 20 个复数解的模都是 1。

详解

第一步：换元

设 $z^5 + z^{-5} = t$ ，由

\left(z^5 + z^{-5}\right)^2 = z^{10} + 2 + z^{-10}

得

z^{10} + z^{-10} = t^2 - 2

第二步：代入原方程

z^{10} + z^{-10} + \frac{1}{2}(z^5 + z^{-5}) = t^2 + \frac{1}{2}t - 2 = 0

第三步：解关于 $t$ 的方程

t^2 + \frac{1}{2}t - 2 = 0

解得

t = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}

第四步：验证 $t$ 的范围

这两个解都在区间 $(-2, 2)$ 内。

第五步：回代求 $z$

由 $z^5 + z^{-5} = t$ ，整理得

\left(z^5\right)^2 - t\left(z^5\right) + 1 = 0

由求根公式得

z^5 = \frac{t \pm \sqrt{t^2 - 4}}{2} = \frac{t \pm \sqrt{4-t^2}\,i}{2}

第六步：确定解的个数

故共有 $2 \times 2 \times 5 = 20$ 个不同的复数解。

第七步：计算模长

当 $t = \dfrac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$ 时，由于 $|t| < 2$ ，有

|z^5| = \left| \frac{t \pm \sqrt{4-t^2}\,i}{2} \right| = \sqrt{\left(\frac{t}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{4-t^2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{t^2 + 4 - t^2}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = 1

故 $|z|^5 = 1$ ，即 $|z| = 1$ 。

结论

答案：BC