题目
已知 ，则（ ）
- A. 存在实数解
- B. 共有 20 个不同的复数解
- C. 的复数解的模长都等于 1
- D. 存在模长大于 1 的复数解
参考解答
答案：BC
解析
设 ，利用换元法可求得 ，从而可判断 的 20 个复数解的模都是 1。
详解
第一步：换元
设 ，由
得
第二步：代入原方程
第三步：解关于 的方程
解得
第四步：验证 的范围
这两个解都在区间 内。
第五步：回代求
由 ，整理得
由求根公式得
第六步：确定解的个数
- 每个 值对应 2 个 的解
- 每个 对应 5 个不同的 （5 次单位根）
故共有 个不同的复数解。
第七步：计算模长
当 时，由于 ，有
故 ，即 。
结论
- A 错误：无实数解（ 为纯虚数形式的非实复数）
- B 正确：共有 20 个不同的复数解
- C 正确：所有复数解的模长都等于 1
- D 错误：不存在模长大于 1 的复数解
答案：BC