高中数学

每日一题：2026-04-24

题目

设 zz 为复数，且 ∣z+1∣>2|z + 1| > 2，证明：∣z3+1∣>1|z^3 + 1| > 1。

参考证明

分析

首先注意到 z3+1=(z+1)(z2−z+1)z^3 + 1 = (z + 1)(z^2 - z + 1)，因此只需证明 ∣z2−z+1∣≥12|z^2 - z + 1| \ge \dfrac{1}{2}。

详解

第一步：变量代换

设 z+1=reiθz + 1 = re^{i\theta}，其中 r=∣z+1∣>2r = |z + 1| > 2，θ=arg⁡(z+1)\theta = \arg(z + 1)。则

z2−z+1=(reiθ−1)2−(reiθ−1)+1z^2 - z + 1 = (re^{i\theta} - 1)^2 - (re^{i\theta} - 1) + 1

=r2e2iθ−3reiθ+3= r^2e^{2i\theta} - 3re^{i\theta} + 3

第二步：计算模长的平方

∣z2−z+1∣2=(r2e2iθ−3reiθ+3)(r2e−2iθ−3re−iθ+3)|z^2 - z + 1|^2 = (r^2e^{2i\theta} - 3re^{i\theta} + 3)(r^2e^{-2i\theta} - 3re^{-i\theta} + 3)

=r4+9r2+9−(6r3+18r)cos⁡θ+6r2cos⁡2θ= r^4 + 9r^2 + 9 - (6r^3 + 18r)\cos\theta + 6r^2\cos 2\theta

=r4+9r2+9−(6r3+18r)cos⁡θ+6r2(2cos⁡2θ−1)= r^4 + 9r^2 + 9 - (6r^3 + 18r)\cos\theta + 6r^2(2\cos^2\theta - 1)

=12(rcos⁡θ−r2+34)2+14(r2−3)2= 12\left(r\cos\theta - \frac{r^2 + 3}{4}\right)^2 + \frac{1}{4}(r^2 - 3)^2

由于 r>2r > 2，故 r2>4r^2 > 4，(r2−3)2>1(r^2 - 3)^2 > 1，于是

∣z2−z+1∣2>14|z^2 - z + 1|^2 > \frac{1}{4}

即 ∣z2−z+1∣>12|z^2 - z + 1| > \dfrac{1}{2}。

第三步：得到结论

∣z3+1∣=∣(z+1)(z2−z+1)∣=∣z+1∣⋅∣z2−z+1∣>2⋅12=1|z^3 + 1| = |(z + 1)(z^2 - z + 1)| = |z + 1|\cdot|z^2 - z + 1| > 2 \cdot \frac{1}{2} = 1

命题得证。