每日一题 2026-04-25

每日一题 2026-04-25

求证：$\sin 1 + \sin 2 + \sin 3 + \cdots + \sin n \le \dfrac{1}{\sin \dfrac{1}{2}}$，其中 $n \in \mathbb{N}^*$。（注：角度为弧度制）

参考解答

解析

设 $z = \cos 1 + i \sin 1$，则 $|z| = 1$。

由复数模的不等式，有

$|\sin 1 + \sin 2 + \cdots + \sin n| \leqslant |(\cos 1 + \cos 2 + \cdots + \cos n) + i(\sin 1 + \sin 2 + \cdots + \sin n)|.$

右端等于

$|(\cos 1 + i \sin 1) + (\cos 2 + i \sin 2) + \cdots + (\cos n + i \sin n)| = |z + z^2 + \cdots + z^n|.$

利用等比数列求和公式：

$z + z^2 + \cdots + z^n = z \cdot \frac{1 - z^n}{1 - z}.$

取模得

$\left|z \cdot \frac{1 - z^n}{1 - z}\right| = |z| \cdot \frac{|1 - z^n|}{|1 - z|} = \frac{|1 - z^n|}{|1 - \cos 1 - i \sin 1|}.$

注意到 $|1 - z| = 2\sin \dfrac{1}{2}$，且 $|1 - z^n| \leqslant 1 + |z^n| = 2$，所以

$|\sin 1 + \sin 2 + \cdots + \sin n| \leqslant \frac{2}{2\sin \dfrac{1}{2}} = \frac{1}{\sin \dfrac{1}{2}}.$

关键解释：利用了 $|z| = 1$ 的性质，以及 $|1 - z^n| \leqslant 1 + |z^n|$ 的放缩技巧。

答案：$\displaystyle \frac{1}{\sin \dfrac{1}{2}}$