每日一题 2026-04-26

已知复数 $z_1, z_2, z_3, z_4$ 满足 $|z_1|^2 + |z_2|^2 = |z_3|^2 + |z_4|^2 = 4$，且 $z_1\overline{z_3} + z_2\overline{z_4} = 0$，则 $|z_1z_4-z_2z_3|$ = ______。

参考解答

析

设 $z_1 = r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha)$，$z_2 = r_2(\cos\beta + i\sin\beta)$，$z_3 = r_3(\cos\gamma + i\sin\gamma)$，$z_4 = r_4(\cos\eta + i\sin\eta)$，由 $|z_1|^2 + |z_2|^2 = |z_3|^2 + |z_4|^2 = 4$ 可得 $r_1^2 + r_2^2 = r_3^2 + r_4^2 = 4$，由 $z_1\overline{z_3} + z_2\overline{z_4} = 0$ 可得 $|z_1\overline{z_3}| = |z_2\overline{z_4}|$，进而得到比例关系，结合模的平方和可得 $r_1 = r_4, r_2 = r_3$，同时由辐角关系推出 $\alpha + \eta = 2k\pi + \pi + \beta + \gamma$。

解

由 $z_1\overline{z_3} + z_2\overline{z_4} = 0$ 可得 $z_1\overline{z_3} = -z_2\overline{z_4}$，即 $|z_1\overline{z_3}| = |z_2\overline{z_4}|$，所以 $r_1r_3 = r_2r_4$。

设 $\dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{r_4}{r_3} = k$，则有

$\begin{cases} r_1^2 + r_2^2 = r_2^2(k^2 + 1) = 4 \\ r_3^2 + r_4^2 = r_3^2(k^2 + 1) = 4 \end{cases}$

即 $r_2 = r_3$，$r_1 = r_4$。

由 $z_1\overline{z_3} + z_2\overline{z_4} = 0$ 可得

$\begin{cases} r_1r_3\cos(\alpha - \gamma) + r_2r_4\cos(\beta - \eta) = 0 \\ r_1r_3\sin(\alpha - \gamma) + r_2r_4\sin(\beta - \eta) = 0 \end{cases}$

即 $\alpha - \gamma = 2k\pi + \pi + (\beta - \eta)$，$\alpha + \eta = 2k\pi + \pi + \beta + \gamma$，$k \in \mathbf{Z}$。

则

$z_1z_4 - z_2z_3 = r_1r_4[\cos(\alpha + \eta) + i\sin(\alpha + \eta)] - r_2r_3[\cos(\beta + \gamma) + i\sin(\beta + \gamma)]$

$= r_1^2[\cos(\alpha + \eta) + i\sin(\alpha + \eta)] - r_2^2[-\cos(\alpha + \eta) - i\sin(\alpha + \eta)]$

$= (r_1^2 + r_2^2)[\cos(\alpha + \eta) + i\sin(\alpha + \eta)]$

故 $|z_1z_4 - z_2z_3| = r_1^2 + r_2^2 = 4$。

答案：$\displaystyle 4$

【点评】

本题关键在于利用复数模的性质和共轭复数的运算性质，通过设模和辐角的方法，将代数条件转化为几何关系，最终利用 $|z_1z_4 - z_2z_3| = r_1^2 + r_2^2$ 这一结论简捷地求出结果。