每日一题：2026-04-27

题目

已知一个圆锥的底面半径为 5，表面积为 $75\pi$。若在该圆锥内放入三个半径均为 $r$ 的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则 $r = \underline{\hspace{2em}}$。

参考解答

解析：

设圆锥的母线长为 $l$，则

$\pi \times 5^2 + \pi \times 5 \times l = 75\pi$

解得 $l = 10$。

则圆锥的轴截面为边长为 10 的等边三角形。

截面图一（俯视图）：

沿圆锥内三个球的球心的截面如下图所示：

则 $\triangle O_1O_2O_3$ 为边长为 $2r$ 的等边三角形。根据圆锥的性质易知截面圆的圆心 $O$ 为 $\triangle O_1O_2O_3$ 的外心，所以

$OO_1 = \frac{2\sqrt{3}}{3}r$

截面图二（轴截面）：

沿 $O, O_1$ 所在轴截面如下图所示：

易知 $\angle O_1AB = \dfrac{\pi}{6}$，所以

$AB = \sqrt{3}r$

求解 $r$：

所以

$\frac{2\sqrt{3}}{3}r + \sqrt{3}r = 5$

解得

$r = \sqrt{3}$

答案：$\displaystyle \sqrt{3}$