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每日一题：2026-04-28

题目

设有一个棱长为 aa 的正四面体的包装盒，现有 4 个半径为 2 的球形玩具分两层放入包装盒（第一层 1 个球，第二层 3 个球），则 aa 的最小值为 ‾\underline{\hspace{2em}}。

参考解答

解析：

要使正四面体的包装盒棱长 aa 最小，需让 4 个半径为 2 的球两两外切且与正四面体面相切，此时 4 个球心正好构成一个棱长为 4 的小正四面体。

正四面体包装盒的高度为

H=a2−(3a2⋅23)2=63aH = \sqrt{a^2 - \left(\frac{\sqrt{3}a}{2} \cdot \frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}a

而对于由四个小球球心组成的小正四面体的高为

h=42−(32×4×23)2=463h = \sqrt{4^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 \times \frac{2}{3}\right)^2} = \frac{4\sqrt{6}}{3}

考虑正四面体的内切球球心到顶点的距离。设正四面体 A−BCDA-BCD 的棱长为 mm，正四面体内切球的球心为 GG，半径为 rr。

正四面体的每个面的面积为 S1=34m2S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4}m^2。

正四面体的高 AH=63mAH = \frac{\sqrt{6}}{3}m，体积 V=212m3V = \frac{\sqrt{2}}{12}m^3。

连接 GG 与正四面体的 4 个顶点可以得到 4 个正三棱锥，每个正三棱锥体积为 13S1⋅r\frac{1}{3}S_1 \cdot r，则

V=4×13S1⋅r=33m2⋅rV = 4 \times \frac{1}{3}S_1 \cdot r = \frac{\sqrt{3}}{3}m^2 \cdot r

由 212m3=33m2⋅r\dfrac{\sqrt{2}}{12}m^3 = \dfrac{\sqrt{3}}{3}m^2 \cdot r，求得

r=612mr = \frac{\sqrt{6}}{12}m

所以正四面体的内切球球心到顶点的距离为 64m\dfrac{\sqrt{6}}{4}m。

若 r=2r = 2，则正四面体的内切球球心到顶点的距离为 6。

所以

H=h+2+6=h+8H = h + 2 + 6 = h + 8

即

6a3=463+8\frac{\sqrt{6}a}{3} = \frac{4\sqrt{6}}{3} + 8

所以 a=4+46a = 4 + 4\sqrt{6}。

答案：4+46\displaystyle 4+4\sqrt{6}

点睛：将四个球的球心抽象为棱长为 4 的小正四面体，把球半径与小正四面体的高转化为包装盒的总高度，是解决本题的关键。