题目
设有一个棱长为 的正四面体的包装盒，现有 4 个半径为 2 的球形玩具分两层放入包装盒（第一层 1 个球，第二层 3 个球），则 的最小值为 。
参考解答
解析：
要使正四面体的包装盒棱长 最小，需让 4 个半径为 2 的球两两外切且与正四面体面相切，此时 4 个球心正好构成一个棱长为 4 的小正四面体。
正四面体包装盒的高度为
而对于由四个小球球心组成的小正四面体的高为
考虑正四面体的内切球球心到顶点的距离。设正四面体 的棱长为 ，正四面体内切球的球心为 ，半径为 。
正四面体的每个面的面积为 。
正四面体的高 ，体积 。
连接 与正四面体的 4 个顶点可以得到 4 个正三棱锥，每个正三棱锥体积为 ，则
由 ，求得
所以正四面体的内切球球心到顶点的距离为 。
若 ，则正四面体的内切球球心到顶点的距离为 6。
所以
即
所以 。
答案：
点睛：将四个球的球心抽象为棱长为 4 的小正四面体，把球半径与小正四面体的高转化为包装盒的总高度，是解决本题的关键。