每日一题：2026-04-29

题目

把半径为 $r$ 的四个小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为 $\underline{\hspace{3em}}$。

（结果用 $r$ 表示）

参考解答

解析：

要使大球半径最小，四个小球应两两相切。此时四个小球的球心构成一个棱长为 $2r$ 的正四面体。

俯视图：从正上方向下看，底部三个小球球心 $O_1,O_2,O_3$ 构成等边三角形，顶部小球球心 $O_4$ 的投影落在该三角形的中心。

大球是这四个小球的外接球——即球心 $O$ 恰好是正四面体 $O_1O_2O_3O_4$ 的外接球心（也是重心），大球经过四个小球的最远点。

设正四面体棱长为 $a = 2r$，其外接球半径（球心到顶点的距离）为

$d = \frac{\sqrt{6}}{4}\cdot a = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot 2r = \frac{\sqrt{6}}{2}r.$

轴截面：取过大球球心 $O$ 与两个小球球心 $O_1,O_2$ 的平面作截面，可以看出大球半径 $R$ 等于

$R = d + r = \frac{\sqrt{6}}{2}r + r = \left(1 + \frac{\sqrt{6}}{2}\right)r.$

答案：$\displaystyle \left(1+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)r$