题目
（2021 烟台一模 16）已知正三棱锥 - 的底面边长为 ，侧棱长为 ，其内切球与两侧面 、 分别切于点 、，则 的长度为 。
参考解答
解析：
1. 基本量
底面正三角形边长 ，。设 为底面中心，则
锥高 。
侧面斜高：取 中点 ，则
是底面中心到 的距离：。
全表面积 。
体积 。
由等体积法 ，得内切球半径
2. 截面法求 的位置
考虑截面 --（过锥高 和 中点 ）。该截面 ，它将侧面 截为线段 。
在该截面中，内切球被截成一个圆：圆心 在 上，，圆的半径为 。
此圆与 （底面截线）相切于 ，与 （侧面 的截线）相切于 。
作 于 ，则 （均 ），于是
在 中，由面积：
相似比：
在 中，。
而 ，验证得 。
即 在 上，且 。
3. 同理求
取 中点 ，同理在截面 -- 中， 在 上且
4. 求
在 中，、 分别在 、 上，且 ，故
在底面正三角形中，、 分别为 、 中点，由中位线定理
因此
答案：