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每日一题：2026-04-30

题目

（2021 烟台一模 16）已知正三棱锥 PP-ABCABC 的底面边长为 22，侧棱长为 13\sqrt{13}，其内切球与两侧面 PABPAB、PBCPBC 分别切于点 MM、NN，则 MNMN 的长度为 ‾\underline{\hspace{2em}}。

参考解答

解析：

1. 基本量

底面正三角形边长 22，S底=3S_{\text{底}} = \sqrt{3}。设 O2O_2 为底面中心，则

O2A=33⋅2=233O_2A = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 2 = \frac{2\sqrt{3}}{3}

锥高 h=PO2=PA2−O2A2=13−43=353h = PO_2 = \sqrt{PA^2 - O_2A^2} = \sqrt{13 - \frac{4}{3}} = \sqrt{\dfrac{35}{3}}。

侧面斜高：取 ABAB 中点 EE，则

PE=PA2−AE2=13−1=23PE = \sqrt{PA^2 - AE^2} = \sqrt{13 - 1} = 2\sqrt{3}

O2EO_2E 是底面中心到 ABAB 的距离：O2E=36⋅2=33O_2E = \dfrac{\sqrt{3}}{6} \cdot 2 = \dfrac{\sqrt{3}}{3}。

全表面积 S=3+3×12⋅2⋅23=73S = \sqrt{3} + 3 \times \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 7\sqrt{3}。

体积 V=13⋅3⋅353=353V = \dfrac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{\dfrac{35}{3}} = \dfrac{\sqrt{35}}{3}。

由等体积法 V=13rSV = \dfrac{1}{3}rS，得内切球半径

r=3573=h7r = \frac{\sqrt{35}}{7\sqrt{3}} = \frac{h}{7}

2. 截面法求 MM 的位置

考虑截面 PP-O2O_2-EE（过锥高 PO2PO_2 和 ABAB 中点 EE）。该截面 ⊥AB\perp AB，它将侧面 PABPAB 截为线段 PEPE。

在该截面中，内切球被截成一个圆：圆心 OO 在 PO2PO_2 上，OO2=rOO_2 = r，圆的半径为 rr。

此圆与 O2EO_2E（底面截线）相切于 O2O_2，与 PEPE（侧面 PABPAB 的截线）相切于 MM。

作 O2H⊥PEO_2H \perp PE 于 HH，则 OM∥O2HOM \parallel O_2H（均 ⊥PE\perp PE），于是

△POM∼△PO2H\triangle POM \sim \triangle PO_2H

在 Rt△PO2E\text{Rt}\triangle PO_2E 中，由面积：

O2H=PO2⋅O2EPE=h⋅3323=h6O_2H = \frac{PO_2 \cdot O_2E}{PE} = \frac{h \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{h}{6}

相似比：

PMPH=POPO2=OMO2H=h−rh=rh/6=67\frac{PM}{PH} = \frac{PO}{PO_2} = \frac{OM}{O_2H} = \frac{h - r}{h} = \frac{r}{h/6} = \frac{6}{7}

在 Rt△PO2H\text{Rt}\triangle PO_2H 中，PH=h2−O2H2=h2−h236=356hPH = \sqrt{h^2 - O_2H^2} = \sqrt{h^2 - \frac{h^2}{36}} = \dfrac{\sqrt{35}}{6}h。

PM=67⋅PH=67⋅356h=357hPM = \frac{6}{7} \cdot PH = \frac{6}{7} \cdot \frac{\sqrt{35}}{6}h = \frac{\sqrt{35}}{7}h

而 PE=h2+13=23PE = \sqrt{h^2 + \frac{1}{3}} = 2\sqrt{3}，验证得 PMPE=56\dfrac{PM}{PE} = \dfrac{5}{6}。

即 MM 在 PEPE 上，且 PM:PE=5:6PM : PE = 5 : 6。

3. 同理求 NN

取 BCBC 中点 FF，同理在截面 PP-O2O_2-FF 中，NN 在 PFPF 上且

PN:PF=5:6PN : PF = 5 : 6

4. 求 MNMN

在 △PEF\triangle PEF 中，MM、NN 分别在 PEPE、PFPF 上，且 PMPE=PNPF=56\dfrac{PM}{PE} = \dfrac{PN}{PF} = \dfrac{5}{6}，故

MN∥EF,MNEF=56MN \parallel EF,\qquad \frac{MN}{EF} = \frac{5}{6}

在底面正三角形中，EE、FF 分别为 ABAB、BCBC 中点，由中位线定理

EF=12AC=12⋅2=1EF = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1

因此

MN=56⋅1=56MN = \frac{5}{6} \cdot 1 = \frac{5}{6}

答案：56\displaystyle \frac{5}{6}