题目
如图是某零件结构模型，中间最大球为正四面体 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切．已知正四面体 棱长为 ，则模型中九个球的表面积之和为 ．
参考解答
解析：
设正四面体 棱长为 ，高为 ，最大球（内切球）半径为 ．
正四面体的高：
正四面体内切球半径等于高的 ：
考虑靠近顶点 处的角部：过与最大球相切且平行于底面 的平面，与侧棱围成一个小正四面体．由于各面到最大球球心的距离均为 ，且角部小正四面体与原正四面体相似，其高为原高的一半：
中等球即为此小正四面体的内切球，半径为：
同理，最小球所在的小正四面体高为：
九个球的构成为：
- 最大球 个，半径
- 中等球 个（靠近四个顶点），半径
- 最小球 个（靠近四个顶点），半径
表面积之和：
答案：