每日一题：2026-05-01

题目

如图是某零件结构模型，中间最大球为正四面体 $ABCD$ 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切．已知正四面体 $ABCD$ 棱长为 $2\sqrt{6}$，则模型中九个球的表面积之和为 $\underline{\hspace{3em}}$．

参考解答

解析：

设正四面体 $ABCD$ 棱长为 $a = 2\sqrt{6}$，高为 $h$，最大球（内切球）半径为 $r_1$．

正四面体的高：

$h = \frac{\sqrt{6}}{3}a = \frac{\sqrt{6}}{3} \times 2\sqrt{6} = 4$

正四面体内切球半径等于高的 $\frac{1}{4}$：

$r_1 = \frac{1}{4}h = 1$

考虑靠近顶点 $A$ 处的角部：过与最大球相切且平行于底面 $BCD$ 的平面，与侧棱围成一个小正四面体．由于各面到最大球球心的距离均为 $r_1$，且角部小正四面体与原正四面体相似，其高为原高的一半：

$h_2 = \frac{h}{2} = 2$

中等球即为此小正四面体的内切球，半径为：

$r_2 = \frac{1}{4}h_2 = \frac{1}{2}$

同理，最小球所在的小正四面体高为：

$h_3 = \frac{h_2}{2} = 1$

$r_3 = \frac{1}{4}h_3 = \frac{1}{4}$

九个球的构成为：

• 最大球 $1$ 个，半径 $r_1 = 1$
• 中等球 $4$ 个（靠近四个顶点），半径 $r_2 = \dfrac{1}{2}$
• 最小球 $4$ 个（靠近四个顶点），半径 $r_3 = \dfrac{1}{4}$
  

表面积之和：

$\begin{aligned} S &= 4\pi r_1^2 + 4 \times 4\pi r_2^2 + 4 \times 4\pi r_3^2 \\[4pt] &= 4\pi \cdot 1^2 + 16\pi \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 16\pi \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 \\[4pt] &= 4\pi + 4\pi + \pi \\[4pt] &= 9\pi \end{aligned}$

答案：$\displaystyle 9\pi$