每日一题：2026-05-02

题目

如图，已知在一个四分之一球形状的玩具储物盒内可放入的最大正方体棱长为 $2 + \sqrt{2}$。若重新放入一个正四面体，并使该正四面体可以在储物盒内以任意角度旋转，则可放正四面体的最大棱长为 $\underline{\hspace{3em}}$。

参考解答

解析：

设四分之一球的半径为 $R$，最大正方体棱长为 $a = 2 + \sqrt{2}$。

正方体放入时，一条棱的中点在球心处，正方体的底面与四分之一球的一个平面重合。正方体底面的对角线长为 $\sqrt{2}a$，由勾股定理，

$(\sqrt{2}a)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = R^2,$

得 $a = \dfrac{2}{3}R$，即

$R = \frac{3}{2}a = \frac{3}{2}\bigl(2 + \sqrt{2}\bigr).$

若正四面体可在盒内以任意角度旋转，则正四面体的外接球应能放入该储物盒内。设储物盒内能放入的最大球半径为 $r$。

取垂直于四分之一球两个平面交线的截面，得四分之一圆及其内切圆。内切圆圆心 $M$ 在角平分线上，$OM = r\sqrt{2}$。又该内切圆与圆弧相切，故

$OM + r = R,\quad\text{即}\quad r\sqrt{2} + r = R,$

解得 $\displaystyle r = \frac{R}{1 + \sqrt{2}}.$

设正四面体的最大棱长为 $l$，其外接球半径为 $\dfrac{\sqrt{6}}{4}l$。令

$\frac{\sqrt{6}}{4}l = r = \frac{R}{1 + \sqrt{2}} = \frac{\frac{3}{2}\bigl(2 + \sqrt{2}\bigr)}{1 + \sqrt{2}}.$

化简：$\dfrac{2 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \sqrt{2}$，故 $r = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$。于是

$l = \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}.$

答案：$\displaystyle 2\sqrt{3}$