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每日一题：2026-05-03

题目

在母线与底面所成角为 π3\dfrac{\pi}{3} 的圆锥内放入三个半径为 11 的球，这三个球两两相切，且均与圆锥的底面和侧面都相切。

（1）求圆锥的底面半径；

（2）若再放入一个半径为 rr 的小球，使得它与三个大球均相切，且与圆锥的侧面相切，求 rr。

参考解答

解析：

设圆锥底面圆心为 OO，顶点为 PP，底面半径为 RR，高为 hh。三个大球球心分别记为 A,B,CA, B, C，小球球心记为 SS。

由母线与底面成角 π3\dfrac{\pi}{3}，得 h=Rtan⁡π3=3Rh = R\tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}R，过轴的截面为边长为 2R2R 的等边三角形。

（1）求 RR。

取过圆锥轴及大球球心 AA 的截面。单位圆与底边和腰都相切。设右侧底角为 MM，则球心 AA 在 ∠M\angle M 的角平分线上。AA 到底边的距离为 11，在直角三角形中 sin⁡π6=1MA\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{MA}，得 MA=2MA = 2。因此球心 AA 到圆锥轴的距离为 2cos⁡π6=32\cos\dfrac{\pi}{6} = \sqrt{3}。

另一方面，过 A,B,CA, B, C 且平行于底面的平面与轴交于点 O1O_1。三球两两相切，故 AB=BC=CA=2AB = BC = CA = 2，△ABC\triangle ABC 是边长为 22 的正三角形，O1O_1 为其外心。因此 O1A=23O_1A = \dfrac{2}{\sqrt{3}}。

于是 R−3=23R - \sqrt{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}，解得 R=533\displaystyle R = \frac{5\sqrt{3}}{3}。

（2）求 rr。

由对称性，小球球心 SS 在圆锥轴上。截面内小球与两腰相切，圆锥顶角为 π3\dfrac{\pi}{3}，故 sin⁡π6=rPS\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{r}{PS}，得 PS=2rPS = 2r。

圆锥高 h=3R=5h = \sqrt{3}R = 5，故 SS 到底面的距离为 5−2r5 - 2r。

大球 AA 与小球相切：AS=1+rAS = 1 + r。球心 AA 到轴的距离为 23\dfrac{2}{\sqrt{3}}，到底面的距离为 11。因此 AA 与 SS 的竖直距离为 (5−2r)−1=4−2r(5 - 2r) - 1 = 4 - 2r。由勾股定理：

AS2=(23)2+(4−2r)2.AS^{2} = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2} + (4 - 2r)^{2}.

代入 AS=1+rAS = 1 + r：

(23)2+(4−2r)2=(1+r)2.\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2} + (4 - 2r)^{2} = (1 + r)^{2}.

化简得 9r2−54r+49=09r^{2} - 54r + 49 = 0，解得 r=3±423r = 3 \pm \dfrac{4\sqrt{2}}{3}。由 0<r<10 < r < 1，取 r=3−423\displaystyle r = 3 - \frac{4\sqrt{2}}{3}。

答案：（1）533\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{3}；（2）3−423\displaystyle 3 - \frac{4\sqrt{2}}{3}。