题目
在母线与底面所成角为 的圆锥内放入三个半径为 的球，这三个球两两相切，且均与圆锥的底面和侧面都相切。
（1）求圆锥的底面半径；
（2）若再放入一个半径为 的小球，使得它与三个大球均相切，且与圆锥的侧面相切，求 。
参考解答
解析：
设圆锥底面圆心为 ，顶点为 ，底面半径为 ，高为 。三个大球球心分别记为 ，小球球心记为 。
由母线与底面成角 ，得 ，过轴的截面为边长为 的等边三角形。
（1）求 。
取过圆锥轴及大球球心 的截面。单位圆与底边和腰都相切。设右侧底角为 ，则球心 在 的角平分线上。 到底边的距离为 ，在直角三角形中 ，得 。因此球心 到圆锥轴的距离为 。
另一方面，过 且平行于底面的平面与轴交于点 。三球两两相切，故 ， 是边长为 的正三角形， 为其外心。因此 。
于是 ，解得 。
（2）求 。
由对称性，小球球心 在圆锥轴上。截面内小球与两腰相切，圆锥顶角为 ，故 ，得 。
圆锥高 ，故 到底面的距离为 。
大球 与小球相切：。球心 到轴的距离为 ，到底面的距离为 。因此 与 的竖直距离为 。由勾股定理：
代入 ：
化简得 ，解得 。由 ，取 。
答案：（1）；（2）。