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每日一题：2026-05-05

题目

已知正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长为 33，点 NN 在棱 CC1CC_1 上，满足 C1N=2NCC_1N=2NC，点 MM 在棱 BCBC 上（点 MM 不与 B,CB,C 两点重合），若平面 AMNAMN 截该正方体所得的截面为五边形，则线段 MNMN 的长度的取值范围是 ‾\boldsymbol{\underline{\hspace{2em}}}。

参考解答

解析：

Step 1：推导已知线段长度，建立 MNMN 与 CMCM 的关系

正方体棱长为 33，因此侧棱 CC1=3CC_1=3。
由条件 C1N=2NCC_1N=2NC，且 NC+C1N=CC1=3NC+C_1N=CC_1=3，代入可得：

NC+2NC=3  ⟹  NC=1NC+2NC=3 \implies NC=1

因为 MM 在棱 BCBC 上，正方体的棱互相垂直，因此 ∠MCN=90∘\angle MCN=90^\circ，△MCN\triangle MCN 为直角三角形，由勾股定理可得：

MN=CM2+NC2=CM2+1MN=\sqrt{CM^2+NC^2}=\sqrt{CM^2+1}

因此只需要确定符合「截面为五边形」条件的 CMCM 的取值范围，即可推导出 MNMN 的取值范围。

Step 2：分析截面形状的临界条件

平面截正方体的截面边数，等于平面与正方体的面的交线数量：交线数为 44 则截面为四边形，交线数为 55 则截面为五边形。

首先分析临界分界情况：

当 CM=1CM=1 时，CMCB=CNCC1=13\dfrac{CM}{CB}=\dfrac{CN}{CC_1}=\dfrac{1}{3}，由平行线分线段成比例可知 MN∥BC1MN\parallel BC_1；
又因为正方体中 BC1∥AD1BC_1\parallel AD_1，因此 MN∥AD1MN\parallel AD_1，此时点 D1D_1 在平面 AMNAMN 上，平面 AMNAMN 与正方体的 44 个面相交，截面为四边形 AMND1AMND_1，不符合五边形要求。

接下来分区间讨论 CMCM 的取值：

1. 当 1<CM<31<CM<3 时：过 AA 作 MNMN 的平行线，该平行线会与棱 DD1DD_1 的线段内部交于点 HH，此时平面 AMNAMN 仅与正方体的 44 个面相交，截面为四边形 AMNHAMNH，仍然不符合五边形要求。

2. 当 0<CM<10<CM<1 时：过 AA 作 MNMN 的平行线，该平行线会与 DD1DD_1 的延长线交于点 HH，同时该直线与棱 A1D1A_1D_1 交于点 FF；连接 HNHN，HNHN 会与棱 C1D1C_1D_1 交于点 EE。此时平面 AMNAMN 与正方体的 55 个面相交，截面为五边形 AMNEFAMNEF，符合截面为五边形的要求。

Step 3：推导 MNMN 的取值范围

由上述分析，截面为五边形时 CMCM 的取值范围是 0<CM<1\boldsymbol{0<CM<1}。

将其代入 MN=CM2+1MN=\sqrt{CM^2+1}：

因为 0<CM<10<CM<1，所以 0<CM2<10<CM^2<1，因此 1<CM2+1<21<CM^2+1<2，对不等式开平方可得：

1<CM2+1<21<\sqrt{CM^2+1}<\sqrt{2}

注：两个端点均取不到：

  • 若 CM=0CM=0，则 MM 与 CC 重合，违反「MM 异于 B,CB,C」的条件；
  • 若 CM=1CM=1，截面为四边形，不符合要求。

答案：(1,2)\displaystyle (1,\sqrt{2})