题目
已知正方体 的棱长为 ，点 在棱 上，满足 ，点 在棱 上（点 不与 两点重合），若平面 截该正方体所得的截面为五边形，则线段 的长度的取值范围是 。
参考解答
解析：
Step 1：推导已知线段长度，建立 与 的关系
正方体棱长为 ，因此侧棱 。
由条件 ，且 ，代入可得：
因为 在棱 上，正方体的棱互相垂直，因此 ， 为直角三角形，由勾股定理可得：
因此只需要确定符合「截面为五边形」条件的 的取值范围，即可推导出 的取值范围。
Step 2：分析截面形状的临界条件
平面截正方体的截面边数，等于平面与正方体的面的交线数量：交线数为 则截面为四边形，交线数为 则截面为五边形。
首先分析临界分界情况：
当 时，，由平行线分线段成比例可知 ；
又因为正方体中 ，因此 ，此时点 在平面 上，平面 与正方体的 个面相交，截面为四边形 ，不符合五边形要求。
接下来分区间讨论 的取值：
1. 当 时：过 作 的平行线，该平行线会与棱 的线段内部交于点 ，此时平面 仅与正方体的 个面相交，截面为四边形 ，仍然不符合五边形要求。
2. 当 时：过 作 的平行线，该平行线会与 的延长线交于点 ，同时该直线与棱 交于点 ；连接 ， 会与棱 交于点 。此时平面 与正方体的 个面相交，截面为五边形 ，符合截面为五边形的要求。
Step 3：推导 的取值范围
由上述分析，截面为五边形时 的取值范围是 。
将其代入 ：
因为 ，所以 ，因此 ，对不等式开平方可得：
注：两个端点均取不到：
- 若 ，则 与 重合，违反「 异于 」的条件；
- 若 ，截面为四边形，不符合要求。
答案：