每日一题：2026-05-06

题目

如图，已知三棱锥 $A-BCD$，三组对棱分别相等，且 $AB=CD=4$，$BC=AD=6$，$AC=BD=5$；线段 $BC$ 上的点 $G$ 满足 $CG=2$，线段 $AD$ 上的点 $H$ 满足 $AH=4$，$E,F$ 分别为 $AB,CD$ 的中点。

(1) 求证：$E,G,F,H$ 四点共面；

(2) 求多面体 $AC-EGFH$ 的体积。

参考解答

解析：

(1) 证明：四点共面

设 $GC=a'$，$HD=b'$，$BC=a$，$AD=b$；作辅助平行线 $CJ\parallel PF\parallel AD$，直线 $CJ$ 交 $HF$ 的延长线于 $J$、交 $AC$ 于 $P$。

因为 $F$ 是 $CD$ 的中点，因此 $CJ=HD=b'$，结合平行线分线段成比例可得：

$\frac{EP}{GC}=\frac{PF}{CJ}=\frac{PF}{HD}=\frac{\frac{a}{2}}{a'}=\frac{\frac{b}{2}}{b'}$

化简得到共面条件：$a'b=ab'$。

代入已知条件：$BC=AD=6$，$CG=2$，$AH=4$，因此 $HD=AD-AH=2$，代入验证 $2\times 6=6\times 2$，满足共面条件 $a'b=ab'$，因此 $E,G,F,H$ 四点共面。

(2) 求体积

作截面 $ABF$，该截面平分三棱锥 $A-BCD$；设 $M$ 为 $GH$ 与 $EF$ 的交点，由 (1) 的结论可推得 $M$ 是 $GH$ 的中点。

因此点 $G$ 和点 $H$ 到平面 $ABF$ 的距离相等；又 $E$ 是 $AB$ 的中点，因此 $\triangle BEF$ 和 $\triangle AEF$ 同高等底，面积相等：

$S_{\triangle BEF}=S_{\triangle AEF}$

因此对应棱锥体积相等：$V_{G-BEF}=V_{H-AEF}$，因此可得体积关系：

$V_{AC-GBEF}=V_{BD-GBEF}=\frac{1}{2}V_{A-BCD}$

对棱相等的三棱锥 $A-BCD$ 可以补全为长方体，该长方体的长宽高分别为 $3\sqrt{\dfrac{5}{2}}$、$3\sqrt{\dfrac{3}{2}}$、$\sqrt{\dfrac{5}{2}}$。

因此代入计算体积：

答案：$\displaystyle \frac{15}{8}\sqrt{6}$