每日一题：2026-05-07

题目

棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，三棱锥 $D-A_1BC_1$、$B_1-AD_1C$ 公共部分的内切球表面积为 $\underline{\hspace{2em}}$。

A. $\dfrac{\pi}{3}$     B. $\dfrac{2\pi}{3}$     C. $\dfrac{4\pi}{3}$     D. $\dfrac{8\pi}{3}$

参考解答

解析：

两个三棱锥 $D-A_1BC_1$ 与 $B_1-AD_1C$ 的公共部分是棱长为 $\sqrt{2}$ 的正八面体。

正八面体的 $6$ 个顶点恰好是正方体 $6$ 个面的中心：上底面 $A_1B_1C_1D_1$ 的中心 $P$、下底面 $ABCD$ 的中心 $Q$、前面 $ABB_1A_1$ 的中心 $R$、后面 $CDD_1C_1$ 的中心 $W$、左面 $ADD_1A_1$ 的中心 $S$、右面 $BCC_1B_1$ 的中心 $T$。

对于棱长为 $a$ 的正八面体，其内切球半径 $r=\dfrac{a}{\sqrt{6}}$。

故 $r=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$。

内切球表面积 $S=4\pi r^2=4\pi\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{4\pi}{3}$。

答案：$\displaystyle \boldsymbol{\frac{4\pi}{3}}$