每日一题：2026-05-08

题目

已知正四棱台$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的上、下底面的边长分别为2，6，高为4，$P, Q$分别是侧棱$AA_{1}$，$CC_{1}$的中点，经过$P, Q$作该正四棱台外接球的截面，则截面面积的最小值为 $\underline{\hspace{2em}}$。

A. $8\pi$     B. $10\pi$     C. $12\pi$     D. $14\pi$

参考解答

解析：

设下底面中心为$O_1$，上底面中心为$O_2$，则$O_1O_2=4$。

下底面是边长为6的正方形，所以$O_1$到下底面各顶点的距离为$\dfrac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$，
同理$O_2$到上底面各顶点距离为$\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

设外接球球心为$O$，它在直线$O_1O_2$上，设$O$到$O_1$的距离为$h$，则：

$R^2=(3\sqrt{2})^2+h^2=18+h^2$

$R^2=(\sqrt{2})^2+(4-h)^2=2+(4-h)^2$

所以$18+h^2=2+(4-h)^2$，解得$h=0$，
所以球心$O$与下底面中心$O_1$重合，半径$R=3\sqrt{2}$。

因为$P, Q$是侧棱$AA_1$和$CC_1$的中点，
所以过侧棱中点的截面平行于底面，为正方形，
边长等于上下底面边长的平均值$\dfrac{6+2}{2}=4$，所以$PQ=4\sqrt{2}$。

又$OA=OA_1=3\sqrt{2}$，所以

$OP=\sqrt{(3\sqrt{2})^2-\left(\frac{2\sqrt{6}}{2}\right)^2}=2\sqrt{3}$

同理$OQ=2\sqrt{3}$。

在等腰$\triangle OPQ$中，$OP=OQ=2\sqrt{3}$，$PQ=4\sqrt{2}$，
作$OH\perp PQ$于$H$，则$H$为$PQ$中点，$PH=2\sqrt{2}$，
所以$OH=\sqrt{OP^2-PH^2}=\sqrt{12-8}=2$，
即球心$O$到直线$PQ$的距离为2。

过直线$PQ$作球的截面，截面圆半径为$r=\sqrt{R^2-d^2}$，
其中$d$为球心到截面的距离，当截面圆面积最小时，$d$最大，
且最大值为$O$到直线$PQ$的距离2，
此时$r_{\min}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2-2^2}=\sqrt{14}$，
$S_{\min}=\pi r_{\min}^2=14\pi$。

答案：$\displaystyle \boldsymbol{14\pi}$