每日一题：2026-05-09

题目

长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的长、宽、高分别为$4\sqrt{5},8,3$，且$E,F$分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当$AE+EF+FC_1$最小时，以$A$为球心，$AE$的长为半径的球面与上底面$A_1B_1C_1D_1$的交线长为 $\underline{\hspace{2em}}$。

A. $2$     B. $\pi$     C. $\dfrac{4\pi}{3}$     D. $2\pi$

参考解答

解析：

由题意得，要使得$AE+EF+FC_1$最小，则要$A,E,F,C_1$在同一个平面内，即平面$ACC_1A_1$内，
当$AE+EF+FC_1$最小时，$E,F$分别为$A_1C_1,AC$的三等分点，
因为$A_1C_1 = AC = \sqrt{AB^2+BC^2}=12$，所以$A_1E=4,AE=\sqrt{AA_1^2 + A_1E^2}=5$，
则在$A_1D_1,A_1B_1$取点$M,N$，使得$A_1M=A_1N=4$，
可得$AM=\sqrt{AA_1^2 + A_1M^2}=5,AN=\sqrt{AA_1^2 + A_1N^2}=5$，
则以$A$为球心，$AM$的长为半径的球面与上底面$A_1B_1C_1D_1$的交线对应的轨迹为以$A_1$为圆心，以$A_1M$为半径的$\dfrac{1}{4}$圆，
所以轨迹的长度为$\dfrac{1}{4} \times 2\pi \times4=2\pi$。

答案：$\displaystyle \boldsymbol{2\pi}$