每日一题：2026-05-10

题目

如图，正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，$M,N$ 分别为棱 $A_1B_1$、$BB_1$ 的中点，过 $D,M,N$ 三点作该正方体的截面，已知截面是一个多边形 $\Gamma$，则 $\Gamma$ 在顶点 $D$ 处的内角的余弦值为 $\underline{\hspace{2em}}$。

参考解答

解析：

第一步：作辅助线确定截面形状。

设 $MN$ 与 $AA_1$ 的延长线交于点 $S$，与 $AB$ 的延长线交于点 $T$。连 $DS$ 交 $A_1D_1$ 于点 $P$，连 $DT$ 交 $BC$ 于点 $Q$，则截面 $\Gamma$ 为五边形 $D\text{-}P\text{-}M\text{-}N\text{-}Q$。

第二步：用相似三角形求关键长度。

不妨设正方体棱长为 $3$。由 $M,N$ 都是中点，可得 $A_1S=NB_1=\dfrac{3}{2}$。

在 $\triangle DA_1S$ 中（$P$ 在 $A_1D_1$ 上）：

$\dfrac{A_1P}{PD_1}=\dfrac{A_1S}{DD_1}=\dfrac{3/2}{3}=\dfrac{1}{2}.$

因 $A_1D_1=3$，故 $PD_1=2,\ A_1P=1$。同理 $CQ=2$。

第三步：识别平行四边形求 $PQ$。

由 $PD_1\parallel CQ$ 且 $PD_1=CQ=2$，知四边形 $CD_1PQ$ 为平行四边形，故

$PQ=D_1C=\sqrt{DD_1^2+DC^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}.$

第四步：求 $DP,DQ$。

$DP=\sqrt{DD_1^2+D_1P^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13},$

同理 $DQ=\sqrt{DC^2+CQ^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$。

第五步：余弦定理求 $\angle PDQ$。

$\cos\angle PDQ=\dfrac{DP^2+DQ^2-PQ^2}{2\cdot DP\cdot DQ}=\dfrac{13+13-18}{2\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}}=\dfrac{8}{26}=\dfrac{4}{13}.$

答案：$\displaystyle \dfrac{4}{13}$

题目来源：2022 年全国高中数学联赛 A2 卷一试第 6 题