每日一题：2026-05-11

题目

在长方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，若 $AB=a$，$AA_1=b$，$AD=c$，且 $a>b>c$，试求长方体表面上从 $A$ 到 $C_1$ 的最短距离。

参考解答

解析：

第一步：将长方体表面展开。

要在长方体表面上求两点间的最短距离，自然的做法是把途经的两个相邻面"折直"成一个平面，使路径变为该平面上的一条线段。从 $A$ 出发到对角顶点 $C_1$，根据所经过的两个相邻面不同，共有三种展开方式（如图）：

• 方式 ①：经过面 $ABB_1A_1$ 的相邻面，把面 $ADD_1A_1$ 与面 $A_1B_1C_1D_1$ 展平为一个矩形，得 $C_1^{(1)}$；
• 方式 ②：经过面 $ABCD$ 与面 $BCC_1B_1$ 展平，得 $C_1^{(2)}$；
• 方式 ③：经过面 $ABCD$ 与面 $CDD_1C_1$（即沿对角面 $AC$ 折）展平，得 $C_1^{(3)}$。

第二步：分别计算三种展开下的距离。

每种展开后 $A$ 到 $C_1$ 的距离都是直角三角形的斜边：

$AC_1^{(1)}=\sqrt{AD^2+DC_1^2}=\sqrt{c^2+(b+a)^2};$

$AC_1^{(2)}=\sqrt{AB^2+BC_1^2}=\sqrt{a^2+(c+b)^2};$

$AC_1^{(3)}=\sqrt{AC^2+CC_1^2}=\sqrt{(a+c)^2+b^2}.$

第三步：比较三式大小。

将三个根号下的式子展开：

$\begin{aligned} c^2+(b+a)^2&=a^2+b^2+c^2+2ab,\\ a^2+(c+b)^2&=a^2+b^2+c^2+2bc,\\ (a+c)^2+b^2&=a^2+b^2+c^2+2ac. \end{aligned}$

故只需比较 $2ab,\ 2bc,\ 2ac$ 三者的大小。由 $a>b>c>0$，有

$bc<ac<ab,$

从而

$\sqrt{a^2+(c+b)^2}<\sqrt{(a+c)^2+b^2}<\sqrt{c^2+(b+a)^2}.$

第四步：得出结论。

最短的是方式 ②，即从 $A$ 出发，经过棱 $A_1B_1$（或对应位置的 $CD$）到达 $C_1$，最短长度为

$AC_1^{(2)}=\sqrt{a^2+(b+c)^2}.$

答案：$\displaystyle \sqrt{a^2+(b+c)^2}$

题目来源：经典立体几何例题（长方体表面最短距离）