每日一题：2026-05-12

题目

在三棱台 $ABC\text{-}A_1B_1C_1$ 中，已知上、下底面面积分别为 $a^2$、$b^2$（$a>b>0$）。作截面 $AB_1C_1$，若直线 $BC$ 与截面 $AB_1C_1$ 间的距离等于这个棱台的高，则截面 $AB_1C_1$ 的面积 $S=\underline{\hspace{2em}}$。

参考解答

解析：

第一步：体积分割。

如图，截面 $AB_1C_1$ 把三棱台 $ABC\text{-}A_1B_1C_1$ 分成三个三棱锥：

• 三棱锥 $A\text{-}A_1B_1C_1$（以上底面为底）
• 三棱锥 $B_1\text{-}ABC$（以下底面为底）
• 三棱锥 $C\text{-}AB_1C_1$（以截面为底）

记它们的体积分别为 $V_1,V_2,V_3$，三棱台的体积为 $V$，棱台的高为 $h$。

第二步：写出四个体积。

由棱台体积公式：

$V=\dfrac{1}{3}h\left(a^2+b^2+ab\right).$

三棱锥 $A\text{-}A_1B_1C_1$ 以上底面 $\triangle A_1B_1C_1$（面积 $a^2$）为底，注意上底所在平面到下底面距离即为棱台的高 $h$，而顶点 $A$ 到上底面的距离也恰为 $h$，故

$V_1=\dfrac{1}{3}\cdot a^2\cdot h.$

注：题面上、下底面面积分别为 $a^2$（上）、$b^2$（下），且 $a>b>0$，意味着这是"上大下小"的台体（仍然是棱台的一般情形）。

类似地，三棱锥 $B_1\text{-}ABC$ 以下底 $\triangle ABC$（面积 $b^2$）为底，顶点 $B_1$ 到下底面距离也是 $h$：

$V_2=\dfrac{1}{3}\cdot b^2\cdot h.$

三棱锥 $C\text{-}AB_1C_1$ 以截面 $\triangle AB_1C_1$（面积 $S$）为底，由题设条件，顶点 $C$ 所在直线 $BC$ 到截面 $AB_1C_1$ 的距离等于棱台的高 $h$，从而 $C$ 到该截面的距离也是 $h$（$C\in BC$）：

$V_3=\dfrac{1}{3}\cdot S\cdot h.$

第三步：由 $V_3=V-V_1-V_2$ 解出 $S$。

$\begin{aligned} V_3&=V-V_1-V_2\\ &=\dfrac{1}{3}h(a^2+b^2+ab)-\dfrac{1}{3}a^2 h-\dfrac{1}{3}b^2 h\\ &=\dfrac{1}{3}abh. \end{aligned}$

故

$\dfrac{1}{3}S\cdot h=\dfrac{1}{3}abh\ \Longrightarrow\ S=ab.$

答案：$\displaystyle S=ab$

题目来源：经典立体几何例题（三棱台截面面积）